Mostrar que $(1+\frac{1}{n})^n+\frac{1}{n}$ es aumentar el tiempo

Question

Me gustaría encontrar una manera de mostrar que la secuencia de $a_n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^n+\frac{1}{n}$ es aumentar el tiempo.

$\hspace{.3 in}$(Numérica, la evidencia sugiere que los $a_n<a_{n+1}$$n\ge6$.)

Me llevó a este problema tratando de demostrar por inducción que $\big(1+\frac{1}{n}\big)^n\le3-\frac{1}{n}$, como en

$\hspace{.4 in}$ Una simple prueba de que $\bigl(1+\frac1n\bigr)^n\leq3-\frac1n$?

Answer 1

Vamos $$\eqalign{f(n) = \dfrac{1}{n} + \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \dfrac{1}{n} + \exp\left( n \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right) \cr &= \dfrac{1}{n} + \exp\left(1 - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{3n^2} + O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right) \cr &= e - \dfrac{e-2}{2n} + \dfrac{11e}{24 n^2} + O\left(\dfrac{1}{n^3}\right) }$$

Entonces $$\eqalign{f(n+1) y= e - \dfrac{e-2}{2n+2} + \dfrac{11e}{24 (n+1)^2} + O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\cr y= e - \dfrac{e-2}{2n} + \dfrac{23 e - 24}{24 n^2} + O\left(\dfrac{1}{n^3}\right) \cr f(n+1) - f(n) &= \dfrac{12e-24}{24n^2} + O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}$$

y desde $e > 2$, esto es positivo para suficientemente grande $n$.

Answer 2

Según lo sugerido por el papa Clemente C., vamos a: $$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}+\frac{1}{x}.\tag{1}$$ Entonces: $$f'(x) = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right)-\frac{1}{x^2}\tag{2}$$ pero, debido a la convexidad: $$\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{x+1}+\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{t}\geq \frac{1}{2(x+1)^2}\tag{3}$$ por lo tanto para cualquier $x\geq 8$: $$f'(x)\geq \frac{\left(1+\frac{1}{8}\right)^8}{2(x+1)^2}-\frac{1}{x^2}>0.\tag{4}$$

Answer 3

Deje $a_n = (1 + 1/n)^n.$

Queremos mostrar a $a_{n+1} - a_{n} \geq \dfrac{1}{n(n+1)}$ grandes $n$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \left(1 - \dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}.$

La CARTA puede ser ampliada como

$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \left(1 - \dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} = \dfrac{n+1}{n} \times \left( \underbrace{1 - \dfrac{1}{n+1}} + \dfrac{1}{2!(n+1)^2}\underbrace{\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)} - \dfrac{1}{3!(n+1)^3}\underbrace{\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)} \left(1 - \dfrac{2}{n+1} \right) + \dots (-1)^{n+1} \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)^{n+1}}\underbrace{\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)} \left(1 - \dfrac{2}{n+1} \right) \dots\left(1 - \dfrac{n}{n+1}\right)\right).$

Desde $\dfrac{n+1}{n} \times (1-\dfrac{1}{n+1}) = 1$, tenemos $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \dfrac{1}{2!(n+1)^2} - \dfrac{1}{3!(n+1)^3} \left(1 - \dfrac{2}{n+1} \right) + \dots$

Así,

$|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} - 1 - \dfrac{1}{2(n+1)^2}| \leq \dfrac{1}{3!(n+1)^3} + \dfrac{1}{4!(n+1)^4} + \dots \leq \dfrac{1}{6(n+1)^2n}.$

Esto implica $$(n+1)^2 \left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right) \to 1/2$$ so upon multiplying the above by $na_n/(n+1)$ $$n(n+1)(a_{n+1} - a_n) \to e/2 > 1.$$ Por lo tanto, $a_{n+1} - a_n \geq 1/n(n+1)$ para todos los grandes de n.

Answer 4

Aquí es otra forma de abordar este problema. La función $$f(z) = 1 - z/2 + z^2/3 + \ldots + (-1)^{k+1} z^k/(k+1) + \ldots$$ is analytic on the unit disc $\{ z : |z| < 1\}$, which implies $g(z) = \exp f(z)$ is also analytic on $\{ z : |z| < 1\}$ and hence can be expanded as a power series $$g(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots +$$ in $\{ z : |z| < 1\}$. We can easily compute the the first few coefficients as $a_0 = \exp f(0) = e$, $a_1 = \exp f(0) f^{'}(0) = -e/2$, and similarly $a_3 = 11e/24.$

Sin embargo, $f(x) = \log(1+x)/x$ para todos los verdaderos $x$$0 < x < 1$, lo $g(x) = (1+x)^{1/x}$ $0 < x < 1$ y por encima de la serie real $x$ es una analítica de extensión de $(1+x)^{1/x}$$-1 < x < 1$.

Escrito $$(1+x)^{1/x} = e - ex/2 + 11x^2/24 + \dots$$ de la que podemos obtener $(1+x)^{1/x} + cx = e + (c - e/2) x + 11ex^2/24 + \dots + \dots$.

La derivada de la función de arriba a 0 es c -e/2, que es < 0, si c < e/2, por la continuidad de la derivada, hay un intervalo de $[0,\epsilon]$ en el que la derivada de la función anterior es estrictamente negativo y, por lo tanto, se reduce. Desde el 1/n disminuye y se encuentra en $[0,\epsilon]$ para todos los gran $n$ esto significa $(1+1/n)^{n} + c/n$ aumenta, finalmente, para cualquier $c < e/2$. Esto es válido para cualquier $x_n$ que estrictamente disminuye a 0 no sólo $1/n,$, $(1+x_n)^{1/x_n} + c x_n$ finalmente aumenta si $c < e/2$. Podemos igualmente argumentan que $(1+x_n)^{1/x_n} + c x_n$ finalmente aumenta si $c > e/2$ si $x_n$ estrictamente disminuye a 0. Para $c = e/2$, la positividad del coeficiente de $x^2$ implica $(1+x_n)^{1/x_n} + e x_n / 2$ eventualmente comienza a disminuir.