Cómo encontrar el menor $N$ tal que $N \equiv 7 \mod 180$ o $N \equiv 7 \mod 144$ pero $N \equiv 1 \mod 7$ ?

Question

Cómo abordar este problema:

N es el menor número tal que $N \equiv 7 \mod 180$ o $N \equiv 7 \mod 144$ pero $N \equiv 1 \mod 7$ Entonces, ¿cuál de las siguientes es la verdad?

1. $0 \lt N \lt 1000$
2. $1000 \lt N \lt 2000$
3. $2000 \lt N \lt 4000$
4. $N \gt 4000$

Por favor, explique su idea.

AÑADIDO: El problema real que viene en mi papel es "o" y la "y" fue mi error pero creo que aprendí algo nuevo debido a eso.Gracias a todos por ser pacientes, y disculpas por las molestias.

Answer 1

(1) Para la versión original de la pregunta $\rm\:mod\ 180 \ $ y $\rm\: mod\ 144\::$

$\rm\: 144,\:180\ |\ N-7\ \Rightarrow\ 720 = lcm(144,180)\ |\ N-7\:.\:$

Así que, $\rm\: mod\ 7:\ 1\equiv N = 7 + 720\ k\ \equiv -k\:,\:$ así que $\rm\:k\equiv -1\equiv 6\:.$

Así, $\rm\: N = 7 + 720\ (6 + 7\ j) =\: 4327 + 5040\ j\:,\:$ así que $\rm\ N\ge0\ \Rightarrow\ N \ge 4327\:.$

(2) Para la versión actualizada más sencilla $\rm\:mod\ 180\ $ o $\rm\ mod\ 144\:,\:$ el mismo método muestra que

$\rm\: N = 7 + 180\ (3+ 7\ j)\:$ o $\rm\:N = 7 + 144\ (2 + 7\ j)\:,\:$ por lo que el menos $\rm\ N> 0\:$ es $\rm\:7 + 144\cdot 2 = 295\:.$

SIMPLER $\rm\ N = 7+144\ k\equiv 4\ k\ (mod\ 7)\:$ asume cada valor $\rm\:mod\ 7\:$ para $\rm\:k = 0,1,2,\:\cdots,6\:,\:$ y todos estos valores satisfacen $\rm\:0 < N < 1000\:.\:$ Es de suponer que esta es la solución "rápida" prevista.

Answer 2

El título dice "o" y el texto dice "y". Asumiré "y".

Queremos $N$ para ser congruente con $7$ modulo $180$ y modulo $144$ . Esto será cierto si $N$ es congruente con $7$ modulo el LCM de $180$ y $144$ que es $720$ .

Así que $N$ debe tener forma $N=720k+7$ para algún número entero $k$ .

Pero queremos $N \equiv 1 \pmod{7}$ .

Desde $N=700k +20k +7$ podemos ver que $N\equiv 20k \pmod{7}$ .

Es de suponer que queremos $N$ positivo, aunque no se especificó. Es fácil ver que el menos positivo $k$ que funciona es $k=6$ . ¿Por qué es tan fácil? Tenga en cuenta que $20\equiv -1 \pmod{7}$ . Así que para hacer $20k \equiv 1 \pmod{7}$ Debemos tener $k \equiv -1\pmod{7}$ . El menos positivo $k$ congruente con $-1$ es $6$ .

Eso obliga a $N>4000$ .

Añadido : El texto de la pregunta original decía $180$ y $144$ .

Para la versión "o", observamos que $N \equiv 7 \pmod{\gcd(180,140)}$ .

Así, $N\equiv 7 \pmod{36}$ o, por el contrario $N$ es de la forma $36k+7$ . En particular, dado que $N \equiv 1 \pmod 7$ Debemos tener $k\equiv 1 \pmod 7$ . Probablemente en esta fase (¡o antes!) la búsqueda es más eficaz. Prueba con $k=8$ . Eso da $N=295$ que funciona, ya que $295=(2)(144)+7$ .

Answer 3

Supongo que la pregunta es "o". Entonces lo más sencillo es calcular la respuesta.

Observe que $180 \equiv 5 \pmod{7}$ y $144\equiv 4 \pmod{7}$ . Desde $3\cdot 5\equiv 1\pmod 7$ vemos que $3\cdot 180+7\equiv 1\pmod{7}$ . Además, como $2\cdot4\equiv 1\pmod{7}$ también tenemos $2\cdot144 +7\equiv 1\pmod{7}$ . Como el menor de los dos es el segundo, concluimos que $N=295$ .