Estrictamente hablando: no, como se ha comentado antes, los zigzags dan problemas (suponiendo que ya los has domesticado para definir conjuntos de morfismos, lo que puedes mediante la construcción clásica y la incrustación de tu categoría en la categoría de complejos acotados en cadena), por ejemplo considera los siguientes 2 complejos de grupos abelianos (es decir $\mathbb{Z}$ -módulos): $$ 0\to 0\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to 0 $$ y $$0\to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to 0\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0 $$
entonces no puede haber un cuasi-imorfismo que vaya en cualquier dirección entre esos complejos (no hay morfismos no triviales desde $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ a $mathbb{Z}$ ). Sin embargo, ambos son cuasi-isomorfos a $$0 \to 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$$ .
Respecto a tu pregunta en la prueba: como ya se ha dicho en los comentarios, se obtiene un zigzag de cuasi-isomorfismos (en el caso de una resolución proyectiva o de un reemplazo fibrante cofibrante, según el entorno en el que se trabaje), que luego inducen todos isomorfismos de $H^*$ pero ahora son isomorfismos reales en la categoría de grupos, por lo que puedes invertirlos y convertir el zigzag en una sola iso.
Además, tenga en cuenta que a menudo la gente (especialmente cuando utiliza categorías de modelos) se limita a ciertas subcategorías, por ejemplo $\mathcal{Ho}(\mathcal{C})$ suele ser la subcategoría de los objetos fibrantes-cofibrantes modulando la homotopía.
