Tengo el siguiente problema que básicamente entiendo, pero no puedo entender cómo mi profesor hizo una sustitución casi al final del problema. ¡Muchas gracias de antemano!
Pregunta: Encuentre la solución $u(x,y)$ a la ecuación de Laplace en el rectángulo $0<x<a$ , $0<y<b$ que satisface las condiciones de contorno $$u(0,y)=0,\;\;\; u(a,y)=0\;\;\; 0<y<b$$ $$u(x,0)=h(x),\;\;\;u(x,b)=0\;\;\; 0\le x\le a.$$
Solución: Utilizando el método de separación de variables $u(x,y)=X(x)Y(y)$ derivamos $$X''+\lambda X=0,\;\;\;Y''-\lambda Y=0,$$ donde $\lambda$ es la constante de separación, y sujeta a las condiciones de contorno $X(0)=X(a)=0=Y(b)$ .
El problema de contorno que satisface $X(x)$ se resuelve con $$X_n(x)=\sin{\frac{n\pi x}{a}},\;\;\;n=1,2,...\;\;\;\lambda=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$$
Una vez que conocemos el signo de $\lambda$ podemos resolver inmediatamente para $Y(y)$ para ser $$Y_n(y)=c_1 \cosh{\frac{n\pi y}{a}}+c_2 \sinh{\frac{n\pi y}{a}}.$$ Utilizando $Y(b)=0$ derivamos la restricción $$c_1 \cosh{\frac{n\pi b}{a}}+c_2 \sinh{\frac{n\pi b}{a}}=0\implies c_2=-c_1\frac{\cosh{\frac{n\pi b}{a}}}{\sinh{\frac{n\pi b}{a}}}$$
Y esta es la sustitución que no entiendo:
Sustituyendo de nuevo en $Y_n(y)$ y redefiniendo el coeficiente constante global, podemos escribir las soluciones fundamentales como
$$u_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)=\left(\sin{\frac{n\pi x}{a}}\right)\left(\sinh{\frac{n\pi(b-y)}{a}}\right).$$
¿Cómo es que $Y_n(y)=\sinh{\frac{n\pi(b-y)}{a}}$ ??
Y entonces tenemos la solución general como $$u(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n u_n(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n \left(\sin{\frac{n\pi x}{a}}\right)\left(\sinh{\frac{n\pi(b-y)}{a}}\right)$$
