El conjunto {x ∈ $R^n$ : $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ }

Question

No entiendo muy bien la notación de este conjunto: {x ∈ $R^n$ : $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ } ¿cuáles serían los valores numéricos ejemplares para este conjunto? ¿Sería, por ejemplo, [0,3 ; 0,7] o, por ejemplo, [0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4]?

Answer 1

Dado un punto x en un espacio de N dimensiones x $_i$ la coordenada i-ésima.
Por ejemplo, si el punto p = (a,b,c), entonces p $_2$ = b.

El conjunto en sí es un hiperplano que pasa por la unidad de cada coordenada.
Para n = 2 es { (x,y) : x + y = 1 }, la línea que pasa por (1,0) y (0,1).
Para n = 3 es { (x,y,z) : x + y + z = 1 }, el plano que pasa por (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1).

Tus ejemplos son correctos, tu notación no lo es.

Answer 2

¡Bienvenido a MSE!

Primero $\Bbb R^n$ es el conjunto de todos los $n$ -vectores dimensionales. Mediante el uso de componentes, un $n$ -vector de dimensiones $\mathbf{x}$ es un odrered $n$ =pareja $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$ . O, tal vez sea mejor pensar en esto $n$ -como las coordenadas de un punto, como sigue: $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$ es un punto en $n$ -espacio dimensional.

Como se ha señalado en los comentarios, si $n=2$ entonces estamos hablando de pares $(x_1,x_2)$ . Piensa en esto como un punto con coordenadas $(x_1,x_2)$ , que es un punto $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ . Entonces el conjunto $\{\mathbf{x}\in\Bbb R^2:\sum_{i=1}^2x_i=1\}$ es el mismo que el conjunto $\{(x_1,x_2):\sum_{i=1}^2x_i=1\}$ Es decir $\{(x_1,x_2):x_1+x_2=1\}$ . Por lo general, cuando $n=2$ uno denota las coordenadas $(x_1,x_2)$ como $(x,y)$ Así que podríamos escribir nuestro conjunto como $\{(x,y):x+y=1\}$ . Este conjunto es el mismo que el conjunto de todos los puntos de la recta (en el plano) representado por la ecuación $x+y=1$ o, lo que es lo mismo, $y=-x+1$ una línea con pendiente $-1$ y $y$ -intersept $1$ (como se muestra a continuación).

Cuando $n=3$ entonces estamos hablando de triples $(x_1,x_2,x_3)$ Es decir $\mathbf{x}\in\Bbb R^3$ y $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ . Piensa en esto como un punto en el espacio (tridimensional) con coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ . Entonces el conjunto $\{\mathbf{x}\in\Bbb R^3:\sum_{i=1}^3x_i=1\}$ es el mismo que el conjunto $\{(x_1,x_2,x_3):\sum_{i=1}^3x_i=1\}$ Es decir $\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2+x_3=1\}$ . Por lo general, cuando $n=3$ uno denota las coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ como $(x,y,z)$ Así que podríamos escribir nuestro conjunto como $\{(x,y,z):x+y+z=1\}$ . Este conjunto es el mismo que el conjunto de todos los puntos del plano (en el espacio 3D) representado por la ecuación $x+y+z=1$ . (También podría escribirse como $z=1-x-y$ .) Es fácil calcular las intercepciones de este plano con los ejes de coordenadas. En efecto, cuando $y=z=0$ obtenemos $x=1$ El $x$ -intercepción. Del mismo modo, cuando $x=z=0$ obtenemos $y=1$ El $y$ -intercepción. Cuando $x=y=0$ obtenemos $z=1$ El $z$ -intercepción. Aquí está un gráfico de este plano (en el espacio tridimensional).