Demuestra que x no es congruente

Question

Si $\,x \not\equiv15\pmod{17},\text{ then }x^5 \not\equiv2\pmod{17}.$

Intenté tomar el contrapositivo:

Si $\,x^5 \equiv2\pmod{17},\text{ then }x \equiv15\pmod{17}$ y

entonces asumo que $x^5=17y+2$ para algún número entero $y$

Pero no sé qué hacer después de este paso.

¿Cómo continúo?

Answer 1

Probar el contrapositivo es una buena idea.

La observación clave es que si $x$ no es divisible por $17$ entonces $x^{16} \equiv 1(mod\ 17)$ por el teorema de Euler. Si suponemos $x^5 \equiv 2(mod\ 17)$ entonces se deduce que $$ 15 \equiv -2 \equiv -2 \cdot x^{16} \equiv -2\cdot(x^5)^3\cdot x \equiv -2 \cdot 2^3 \cdot x \equiv -16x \equiv x\ (mod\ 17). $$

Answer 2

¿Servirá el Pequeño Teorema de Fermat? Si $x^5\equiv2\pmod{17}$ entonces $x^{20}\equiv-1\pmod{17}$ y $x^{40}\equiv1\pmod{17}$ . Entonces tenemos

$$x^{65}\equiv x\equiv2(-1)(1)\equiv-2\equiv15\pmod{17}$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Es más fácil de seguir:

$$a\equiv\pm1, a^5\equiv\pm1$$

$$a\equiv\pm2, a^5\equiv\pm32\equiv\mp2$$ y así sucesivamente