¿Puede un isomorfismo de subgrupos de un grupo finito extenderse siempre a un automorfismo sobre el grupo?

Question

Considera el problema:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Sea $H, K$ sean subgrupos arbitrarios de $G$ . Dejemos que $f: H\to K$ sea un isomorfismo sobre grupos. ¿Podemos construir siempre $F\in\text{Aut}\,(G)$ tal que $F_{|H}=f$ ?

Estoy seguro de que la respuesta es no. Con este fin, busco lo siguiente:

1. Un ejemplo concreto de cuando esto falla.
2. Una caracterización de los grupos en los que esta condición falla/no falla desde la perspectiva de la teoría de la representación (si existe).

He buscado un poco y no he encontrado mucho más que este hilo en MO y este hilo sobre MSE de hace diez años, por lo que los enlaces a los documentos de investigación (¿recientes?) son muy apreciados.

Edición: Ahora conozco un artículo de Pettet y otra de Schupp ambos afirman que un automorfismo $\phi: G\to G$ es extensible a un automorfismo $\psi: E\to E$ donde hay una inclusión natural $\iota: G\to E$ si y sólo si $\phi$ es interior. Supongo que lo que busco ahora es una formulación y prueba equivalente de este problema (si es que existe) desde una perspectiva teórica de la representación. También me interesaría conocer enfoques que hagan uso del álgebra homológica.

Answer 1

Los subgrupos cíclicos generados por $(12)$ y $(12)(34)$ en $S_4$ son isomorfos, pero no existe ningún automorfismo de $S_4$ enviando uno a otro: todo automorfismo de $S_4$ es interior y $(12)$ y $(12)(34)$ no son conjugables, ya que son de distinto tipo de ciclo.

Answer 2

Ejemplo 1. Un subgrupo normal es isomorfo a un subgrupo no normal.
$H=\{(1),\ (1\ 2)(3\ 4),\ (1\ 3)(2\ 4),\ (1\ 4)(2\ 3)\}$ y $K=\{(1),\ (1\ 2),\ (3\ 4),\ (1\ 2)(3\ 4)\}$ son subgrupos isomorfos de $S_4$ pero $H$ es un subgrupo normal de $S_4$ y $K$ no lo es. Un automorfismo de un grupo debe llevar subgrupos normales a subgrupos normales.

Ejemplo 2. Un ejemplo abeliano.
$G=\langle(1\ 2\ 3\ 4),\ (5\ 6)\rangle$ es un grupo abeliano de orden $8$ . Los subgrupos $H=\langle(1\ 2\ 3\ 4)^2\rangle$ y $K=\langle(5\ 6)\rangle$ son subgrupos isomorfos de orden $2$ . Ningún automorfismo de $G$ mapas $(1\ 2\ 3\ 4)^2$ a $(5\ 6)$ ya que la permutación impar $(5\ 6)$ no es un cuadrado; además, los grupos cotizados $G/H$ y $G/K$ son no isomorfas.