¿Por qué un circuito de elementos lineales es en sí mismo un circuito lineal?

Question

En primer lugar, lo que entiendo por elemento lineal y circuito lineal.

Un elemento lineal tiene una tensión proporcional a su corriente. El voltaje de una resistencia es proporcional a su corriente y, en el dominio de la frecuencia, los condensadores y los inductores también son elementos lineales. Este elemento tiene una propiedad de superposición tal que la salida de una entrada es equivalente a la suma de las salidas de dos entradas más pequeñas que suman la entrada original.

Un circuito lineal tiene una definición diferente. Se define por satisfacer el teorema de la superposición, diferente de la propiedad de superposición mencionada anteriormente para el elemento lineal. El teorema establece que la tensión o la corriente en cualquier lugar del circuito debido a múltiples fuentes de entrada es la misma que la suma de las respuestas que se producirían si sólo se encendiera una fuente a la vez. Esto es muy diferente del significado de un elemento lineal cuya propiedad de superposición sólo se aplica a las entradas en un lugar en lugar de múltiples entradas en diferentes lugares.

Lo que me lleva a mi pregunta: ¿Por qué un circuito de elementos lineales crea un circuito lineal?

Nota: Las respuestas actuales dicen que los elementos lineales implican un circuito lineal sin explicar por qué. O, al menos, no con la suficiente claridad como para entenderlo.

Answer 1

Bueno, podrías usar la definición matemática de lineal.

Definición ( Lineal ) - Un objeto $H$ se llama lineal si satisface el siguiente principio de superposición:

$$ \alpha H(x) + \beta H(y) = H(\alpha x + \beta y)$$

Si $H$ se describe como una operación lineal (en este caso la operación de las resistencias en un circuito) satisface la superposición.

Ahora, si tomas elementos pasivos como un inductor o un condensador, verás que son no proporcionalmente/linealmente relacionados con la corriente:

$$ V_r = IR, \hspace{6pt} V_i = L\frac{dI}{dt}, \hspace{6 pt} V_c = \frac{1}{c}\int I\hspace{2pt} \mathrm{d}x$$

Sin embargo, éstos también satisfacen el principio de superposición, porque los operadores derivados e integrales son operadores lineales en sí mismos. Así, un circuito puede analizarse en función de las propiedades de sus elementos (lineales o no lineales) y resolverse en consecuencia.

Answer 2

Imagina una red arbitrariamente compleja compuesta únicamente por elementos lineales.

Ahora toma cuatro terminales en cualquier lugar de la red, que actuarán como nuestros dos puertos. La red en sí es la famosa caja negra de la red de 2 puertos.

Ahora aplica las leyes de Kirchhoff a todos los posibles bucles de la red. Obtendrás un montón de ecuaciones lineales, cuya resolución te dará el valor de la tensión y la corriente en cada nodo de la red.

Dado que los cuatro terminales están conectados a algunos nodos, sus valores también deben incluirse en el conjunto de ecuaciones lineales (como variables $V_1 , I_1, V_2, I_2$ ).

Así que después de resolver se obtendrá una relación lineal entre $V_1 , I_1, V_2, I_2$ es decir, los valores de corriente y tensión del puerto.

Esta es la definición de una red lineal. Por lo tanto, se ha demostrado.

Answer 3

Si tienes todas las relaciones lineales, el resultado debe ser lineal. Si tienes manzanas, hazles cualquier cosa, seguirás teniendo manzanas