Anillo de endomorfismo de $x \Bbbk\langle x,y \rangle + y \Bbbk\langle x,y \rangle$

Question

Dejemos que $R = \Bbbk \langle x,y \rangle$ , donde $\Bbbk$ es un campo. Quiero determinar $\underline{\text{End}}_R(xR + yR)$ el anillo de homomorfismos de módulos graduales (no necesariamente conservadores de grado) del ideal derecho $xR + yR$ .

Sé que tenemos una inclusión $R \hookrightarrow \underline{\text{End}}_R(xR + yR)$ dado por $p \mapsto \phi_p$ , donde $\phi_p(q) = pq$ y me inclino a creer que se trata de un isomorfismo, pero no puedo demostrar la subjetividad. ¿Es esto un isomorfismo, y si es así, cómo debo ir a probarlo?

Answer 1

$xR\cap yR=\{0\}$ , por lo que su ideal es la suma directa de $xR$ y $yR$ , ambos son isomorfos a $R$ como ideales derechos, por lo que su álgebra de endomorfismo es isomorfa a $M_2(R)$ .