Cuándo actúan los operadores de aniquilación - segunda cuantificación

Question

Estoy confundido en cuanto a cuándo un operador de aniquilación aniquila a su homólogo de creación.

Como introducción a la segunda cuantificación en mis notas de QFT tenemos:

Los operadores $c_j$ aniquilar a sus contrapartes y para ello requerimos que $c_{j_1}c_{j_2}^\dagger |0\rangle =\delta_{j_1 j_2} |0 \rangle$

¿No significa esto que un operador $\hat c_{j_1} \hat c_{j_1}^\dagger = 1$ ? ¿O es que necesitamos el $|0\rangle$ para poder decir eso?

Supongo que eso implicaría que la aniquilación sólo puede ocurrir cuando el término es un estado y no un operador por ejemplo. $\hat c_{j_1} \hat c_{j_1}^\dagger |0\rangle = |0\rangle$ vs $\hat c_{j_1} \hat c_{j_1}^\dagger = \hat c_{j_1} \hat c_{j_1}^\dagger$

Hago esta pregunta porque estoy tratando con fermiones en sitios, y tenía curiosidad por saber si un operador como $f_j f^\dagger_j$ simplemente se "colapsaría" o "aniquilaría" a 1.

Answer 1

¿No es incorrecto el orden del operador de números que has enumerado? ¿No está el operador de creación a la izquierda del operador de aniquilación?

Edición: No has mencionado si estás hablando de fermiones o de bosones. Para los fermiones, ese no es el operador numérico.

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En cualquier caso, sólo has demostrado que es igual a 1 cuando actúa sobre el estado de vacío. Para demostrar que es igual a uno siempre, tienes que demostrar que es igual a 1 en una base del espacio (así, para cada estado.)