Tengo una matriz definida positiva $A$ y un vector $v$ Entonces, ¿por qué se sostiene lo siguiente?
$$ Av = \lambda v + \eta v^\perp$$
Primero pensé que esto podría deberse al timbre de la descomposición ortométrica, pero creo que ésta sólo descompone un vector en un subespacio y otro vector en el complemento ortométrico de este subespacio. No soy capaz de generalizar esto a una matriz por un vector, es decir, por qué la descomposición seguiría siendo a lo largo de $v$ ? ¿Hay alguna relación con el problema de los valores propios para poder escribir lo anterior?
Para mi segunda pregunta, digamos que tengo la siguiente desigualdad:
$$ D = \| v \|^2 v v^T + 2 \lambda v v^T + \eta v^\perp v^T + \eta v (v^\perp)^T \succeq 0 $$
entonces, ¿es lo anterior equivalente a
$$ D = \bigg[ (\| v \|^2 + 2 \lambda) \otimes {\bf{1}}_{1 \times 4n},\eta \otimes {\bf{1}}_{1 \times 4n},\eta \otimes {\bf{1}}_{1 \times 4n},0 \otimes {\bf{1}}_{1 \times 4n} \bigg] \begin{pmatrix} v v^T \\ v (v^\perp)^T \\ v^\perp v^T \\ v^\perp (v^\perp)^T \\ \end{pmatrix} \succeq 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} \| v \|^2 + 2 \lambda & \eta\\ \eta & 0 \end{pmatrix} \succeq 0$$
y ${\bf{1}}_{1 \times 4n}$ es un vector de filas de unos si $A$ es un $n \times n$ matriz. Entonces, ¿se seguiría la implicación anterior -- considerando que la segunda matriz (de tamaño $4n \times n$ ) definida en $D$ es distinto de cero, es decir, por qué la primera parte de $D$ ¿se puede escribir como una matriz?
Agradecería cualquier ayuda sobre estos dos. Gracias.
