Demuestre que el generador de un semigrupo de contracción fuertemente continuo sobre $L^2$ es definida no positiva

Question

Dejemos que $(E,\mathcal E,\mu)$ sea un espacio de medida finita, $(T(t))_{t\ge0}$ sea un semigrupo de contracción fuertemente continuo sobre $L^2(\mu)$ y $(\mathcal D(A,A)$ denota el generador de $(T(t))_{t\ge0}$ . Supongamos que $T(t)$ es autoadjunto para todo $t>0$ .

¿Podemos concluir que $(\mathcal D(A,A)$ ¿es definitivo no positivo?

Dejemos que $f\in\mathcal D(A)$ . Tenemos que demostrar que $\langle f,Af\rangle_{L^2(\mu)}\le0$ . Por definición, $$\frac12\left(\langle f,T(t)f\rangle_{L^2(\mu)}+\left\|f\right\|_{L^2(\mu)}^2\right)=\left\langle f,\frac{T(t)f-f}t\right\rangle_{L^2(\mu)}\xrightarrow{t\to0+}\langle f,Af\rangle_{L^2(\mu)}\tag1$$ Ahora, por contracción $$\left\|T(t)f\right\|_{L^2(\mu)}\le\left\|f\right\|_{L^2(\mu)}\tag2.$$ Sin embargo, a la luz de $(1)$ parece que tenemos que mostrar $$\langle f,T(t)f\rangle_{L^2(\mu)}+\left\|f\right\|_{L^2(\mu)}^2\le 0.$$

Answer 1

Porque $T(t)$ es contractiva, entonces $\|T(t)f\|^2$ es una función no creciente de $t$ para cada fijo $f$ . En consecuencia, para todos los $f\in\mathcal{D}(A)$ , $$ 0 \ge \left.\frac{d}{dt}\|T(t)f\|^2 \right|_{t=0} = \langle Af,f\rangle+\langle f,Af\rangle = 2\Re\langle Af,f\rangle. $$ Suponiendo que $A$ es autoadjunto da $A \le 0$ .