La descripción ingenua del radio de convergencia de una serie de potencias complejas es la del mayor radio para que la bola evite los polos y los cortes de rama. Esto tiene sentido en un mundo donde las funciones analíticas son, en el peor de los casos, meromorfas en $\mathbb{C}$ o involucrar el logaritmo complejo, pero es patentemente falso cuando se consideran cosas como $$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n!+1}}{n!+1}$$ que es continua en la frontera $|z|=1$ pero tiene $\mathbb{D}$ como su dominio completo. Una forma mejor de hablar de las series de potencias es decir que una serie de potencias termina cuando encuentra un punto singular: un punto por el que la función no puede continuarse analíticamente.
Pregunta: ¿Existe una forma suficiente de observar las propiedades de una función dentro de su dominio para saber si se está "acercando" (en un sentido u otro) a un punto singular? ¿Se puede hacer esto evitando declaraciones sobre puntos en la frontera de forma explícita, quizás hablando exclusivamente del comportamiento de la función o de sus derivadas? Es decir, ¿puede una serie de potencias decir cuándo es el momento de parar?
Considere estos ejemplos.
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Cuando $f$ tiene un polo en un punto aislado de su dominio, entonces claramente la serie de potencias no puede extenderse más allá de dicho punto. Esto se deduce de un sencillo argumento sobre el módulo de $|z|$ en la serie de potencias a medida que nos acercamos a un punto en el que $|f(z)| \to \infty$ . En concreto, tenemos una secuencia de valores $z_k$ en el dominio que se aproxima al punto singular con $\lim_k |f(z_k)| = \infty$ .
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Por otro lado, $|f(z)|$ puede estar acotado en un dominio y aun así hacer que la serie de potencias falle. Un ejemplo de función acotada en $\mathbb{D}$ con límite natural $\partial \mathbb{D}$ es un producto de Blaschke cuyos ceros se acumulan en cada punto de la frontera. Aquí podemos entender el fallo de la serie de potencias para $f$ que surgen de los datos de $f$ mismo, ya que $f$ no puede tener sus ceros acumulados. Es decir, hay una secuencia $z_k$ en el dominio que se aproxima al punto o puntos singulares con $|f(z_k)|=0$ .
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Podemos considerar series lacunares como la mencionada anteriormente. Una forma de explicar el fracaso de la serie de potencias de $f$ en este caso es pensar que se construye como la descomposición de Fourier de $f(Re^{i\theta})$ para algunos $\{|z|=R\}$ contenida en el dominio de $f$ . En este caso tenemos $$f(z) = \int_\gamma \frac{f(w)}{w-z}dw = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(Re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta\right) \frac{z^n}{R^n}$$ Por ejemplo, $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2^n}}{n^2}$ . Cuando $|z| =r < 1$ entonces el decaimiento geométrico de $z^n$ suaviza la serie de Fourier para $f(re^{i\theta})$ pero a medida que nos acercamos al límite $\partial \mathbb{D}$ empezamos a ver la serie de Fourier lacunar $\sum_{n=0}^\infty \frac1{n^2}e^{i2^n \theta}$ . Si los coeficientes de Fourier de decaimiento rápido representan funciones suaves, estos coeficientes de Fourier de decaimiento increíblemente lento ponen de relieve el hecho de que la gráfica de esta serie de Fourier es fractal, por lo que no es posible utilizarla para continuar la función. En esta situación, los límites radiales de $f$ existen ( $f$ está en $H^2(\mathbb{D})$ ), pero los puntos que se acercan a la frontera no dependen los unos de los otros con la suficiente suavidad.
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Una última perspectiva. La construcción de funciones que son continuas en $\overline{\mathbb{D}}$ pero tienen $\partial\mathbb{D}$ como su límite natural suele implicar la toma de series lacunares y la adición de coeficientes decadentes. Si los coeficientes están en $\ell^2(\mathbb{N})$ entonces la función está en $H^2(\mathbb{D})$ y tiene valores límite radiales en casi todas partes en $\partial\mathbb{D}$ . Por otra parte, si los huecos son lo suficientemente grandes, los coeficientes de la(s) derivada(s) serán salvajes (esto es esencialmente el enunciado de Ostrowski-Hadamard). Si la serie de potencias termina por un punto que $f$ se extiende de forma continua a lo largo de una línea radial, podemos pensar en tratar de continuar analíticamente la función a lo largo de esa línea. En este caso obtenemos algo parecido a la siguiente imagen de $$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n!}}{n^2+1}$$ con la parte real trazada sobre la línea que va de 0 a $i$ .
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Comentarios finales: He decidido no eliminar ninguno de estos puntos por si hay alumnos que los encuentren interesantes. Supongo que una reformulación de mi pregunta podría ser ¿Existe una forma más geométrica de explicar cuándo una serie de potencias decide detenerse, en contraste con la simple observación de las sucesivas operaciones de derivación aplicadas a los coeficientes (que es más o menos como realmente calculamos el radio de convergencia)?
