Hace aproximadamente un mes, tengo las siguientes :
Para cada número racional positivo de $r$, existe un conjunto de cuatro números enteros positivos $(a,b,c,d)$ tal que $$r=\frac{a^\color{red}{3}+b^\color{red}{3}}{c^\color{red}{3}+d^\color{red}{3}}.$$
Para $r=p/q$ donde $p,q$ son números enteros positivos, podemos tomar $$(a,b,c,d)=(3ps^3t+9qt^4,\ 3ps^3t-9qt^4,\ 9qst^3+ps^4,\ 9qst^3-ps^4)$$ donde $s,t$ son enteros positivos tales que $3\lt r\cdot(s/t)^3\lt 9$.
Para $r=2014/89$, por ejemplo, ya tenemos $(2014/89)\cdot(2/3)^3\aprox 6.7$, teniendo $(p,q,s,t)=(2014,89,2,3)$ nos da $$\frac{2014}{89}=\frac{209889^3+80127^3}{75478^3+11030^3}.$$
Entonces, empecé a tratar de encontrar todos los enteros positivos $n$ que la siguiente proposición es verdadera :
Proposición : Para cada número racional positivo de $r$, existe un conjunto de cuatro números enteros positivos $(a,b,c,d)$ tal que $$r=\frac{a^\color{red}{n}+b^\color{red}{n}}{c^\color{red}{n}+d^\color{red}{n}}.$$
Los siguientes son lo que tengo. Vamos a $r=p/q$ donde $p,q$ son números enteros positivos.
Para $n=1$, la proposición es verdadera. Podemos tomar $(a,b,c,d)=(p,p,p,p)$.
Para $n=2$, la proposición es falsa. Por ejemplo, no establece existen para $r=7/3$.
Incluso para $n$, la proposición es falsa porque la proposición es falsa para $n=2$.
Sin embargo, he estado en la dificultad en el caso de la extraña $n\ge 5$. He tratado de conseguir un conjunto similar de cuatro enteros positivos $(a,b,c,d)$ como el conjunto para $n=3$, pero no he sido capaz de conseguir cualquier conjunto. Así que, aquí está mi pregunta.
Pregunta : ¿Cómo podemos encontrar cada número impar $n\color{red}{\ge 5}$ tal que la siguiente proposición es verdadera?
Proposición : Para cada número racional positivo de $r$, existe un conjunto de cuatro números enteros positivos $(a,b,c,d)$ tal que $$r=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}.$$
Actualización : he publicado esta pregunta en MO.
Añadido : Problema N2 de la OMI 1999 Preselección pide el caso $n=3$.
