Encuentre el valor de la constante $c$ para la cual la integral converge, y evaluar la integral:
$$\int_0^\infty \left(\frac{9x}{x^2+1}-\frac{9c}{2x+1}\right)dx$$
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Usuario no registrado
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Tenemos \begin {align} \int_0 ^a \left ( \dfrac {9x}{x^2+1} - \dfrac {9c}{2x+1} \right ) dx & = \left. \left ( \dfrac92 \log\left (x^2+1 \right ) - \dfrac {9c}2 \log (2x+1) \right ) \right \vert_0 ^a \\ & = \dfrac {9}2 \log \left ( \dfrac {a^2+1}{(2a+1)^c} \right ) \end {align} Dado esto, como $a \to \infty$ ¿Qué pasa si $c<2$ o $c>2$ ? Una vez que obtenga el $c$ a partir de esto, utilice este $c$ y que $a \to \infty$ para obtener la respuesta.
Oli
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89
El integrando puede simplificarse a $$9\frac{2x^2+x-cx^2 -c}{(x^2+1)(2x+1)}.$$ Es $c\ne 2$ , entonces para grandes $x$ el valor absoluto del numerador está dominado por el $9(|2-c|x^2)$ se deduce que para grandes $x$ el integrando se comporta como $\frac{9(|2-c|)}{2x}$ por lo que la integral no converge.
Por lo tanto, para la convergencia necesitamos $c=2$ . El cálculo de la integral para $c=2$ ha sido descrito por el usuario17762.
