¿Cómo escribir una implicación cuyo antecedente cuantifica una variable en su consecuente?

Question

Quiero escribir la declaración

$$\text{If } A^{-1} \text{ exists then } A^{-1} = \frac{\alpha-a}{\alpha^2-a^2}$$

utilizando cuantificadores. Tenga en cuenta que $A$ y su inversa, si existe, se toman del conjunto $\mathscr{G}$ . Mi primer pensamiento es

$$ \exists B \in \mathscr{G}, BA = 1 \to B = \frac{\alpha - a}{\alpha^2 - a^2}$$

pero esto es incorrecto porque el antecedente necesita incluir el cuantificador mientras que aquí la agrupación funciona así:

$$ \exists B \in \mathscr{G} \left( BA = 1 \to B = \frac{\alpha - a}{\alpha^2 - a^2} \right).$$

Esto sigue siendo cierto si $A^{-1}$ no existe; en este caso, simplemente no hay $B$ que satisface el antecedente. Pero este no es el enunciado que busco, porque necesito el cuantificador en el antecedente. Pero la dificultad es que con el cuantificador en el antecedente, no hay manera de "instanciar" $B$ en el consecuente:

$$ \left( \exists B \in \mathscr{G} , BA = 1 \right) \to \left( \underbrace{B}_\text{Not the same $ B $.} = \frac{\alpha - a}{\alpha^2 - a^2} \right). $$

Creo que en la lógica de primer orden se puede decir: "si existe algún $x$ que satisface estas propiedades, entonces dejemos que esta variable sea la siguiente $x$ ." ¿Cómo se escribe eso en este contexto?

Answer 1

Su afirmación es lo que se llama una "frase-burro", llamada así por el ejemplo bastante violento de:

Si un agricultor tiene un burro, lo golpeará".

Observe cómo si se le pide que simbolice éste, es probable que pase por el mismo proceso de pensamiento por el que usted pasó:

El primer pensamiento es que se trata de un condicional:

$\exists x \ \exists y (F(x) \land D(y) \land O(x,y)) \to B(x,y)$

Pero esto no funciona, ya que tienes variables libres en el consecuente.

Vale, pero si luego tiras del ámbito del existencial sobre el consecuente, obtienes:

$\exists x \ \exists y ((F(x) \land D(y) \land O(x,y)) \to B(x,y))$

que tampoco funciona, ya que esta afirmación puede hacerse trivialmente cierta eligiendo cualquier cosa para $x$ que no es un agricultor y/o algo para $y$ que no es un burro, y por lo tanto la declaración termina diciendo poco de interés en absoluto.

La respuesta correcta, por supuesto, es utilizar un universal:

$\forall x \ \forall y ((F(x) \land D(y) \land O(x,y)) \to B(x,y))$

porque la 'a' en 'un agricultor' y 'un burro' se usa realmente como 'cualquier'.

Del mismo modo, la simbolización correcta de nuestra afirmación debería ser:

$$ \forall B \in \mathscr{G} \left( BA = 1 \to B = \frac{\alpha - a}{\alpha^2 - a^2} \right).$$

Ahora bien, es posible que aún te preguntes por qué tienes la sensación de que debe haber un existencial aquí.

Pues bien, considere la siguiente frase-burro modificada:

Si un agricultor tiene un burro, entonces tenemos un problema".

Ahora este La frase puede simbolizarse como:

$\exists x \ \exists y (F(x) \land D(y) \land O(x,y)) \to P$

Además, esto resulta ser equivalente a:

$\forall x \ \forall y ((F(x) \land D(y) \land O(x,y)) \to P)$

Así que sí, hay es una estrecha relación entre el uso del existencial y el universal cuando se trata de condicionales.

Answer 2

$$\forall A,B \in S ( (AB=I)\implies B=\dots )$$

O puede escribir: para todos $A $ en el conjunto (( hay B en el conjunto AB=I) por lo tanto ( $B=\dots$ ))

Answer 3

En realidad, sólo hay que escribir $$A^{-1} = B \implies B = \frac{\alpha - a}{\alpha^2 - a^2}$$

ya que la equivalencia sólo será demostrable si $A^{-1}$ se define.