¿Puede un mismo elemento ser el mayor y el menor en un conjunto parcialmente ordenado?

Question

Tengo un examen pronto, así que estoy mirando los exámenes anteriores y resolviendo cada problema que veo.

Así que el problema es el siguiente:

$R$ es un conjunto(relación) parcialmente ordenado en $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$"1"$ es un elemento mínimo en relación $R$ y $"1"$ es un elemento máximo en la relación $R$ .

a)¿Puede dar un ejemplo de dicha relación en $A$ ?

Mi respuesta :

Dejemos que $R$ sea una relación sobre $A$ que dice :

$(x,y) \in R$ si $x|y$ y $y|x$

Lo que significa :

$R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)\}$

En este caso $"1"$ es a la vez mínima y máxima.

b)Dar una prueba general de que si $R$ cumple las condiciones anteriores, $R$ no contiene un elemento mayor y $R$ no contiene un elemento mínimo.

Mi respuesta :

El mayor y el menor elemento de un conjunto parcialmente ordenado son comparables a cualquier otro elemento de un conjunto (a diferencia de los elementos mínimo y máximo), si una relación cumple las condiciones anteriores, hay al menos 1 elemento que no es comparable a ningún otro elemento de un conjunto, lo que significa que no puede contener un elemento mayor/menor.

c)Este es el problema que está en el título, que dice así :

¿Existe un conjunto parcialmente ordenado(relación) $S$ en $A = \{1,2,3,4,5\}$ , de tal manera que $"1"$ es el elemento más grande de S, y $"1"$ es el menor elemento de S. Da un ejemplo de dicha relación (si existe), o demuestra que no existe.

Ahora, sólo se me ocurre una relación que va :

$(x,y) \in S$ si $x+y = 2$

En este caso, la relación debe contener sólo el elemento (1,1), lo que significa que 1 sería el elemento mínimo, máximo, mayor y menor en $S$ ¿Es esto correcto? ¿Puede el mismo elemento ser mayor y menor al mismo tiempo?

Se agradece cualquier ayuda, también se agradecería que me dijeran si los 2 primeros problemas fueron contestados correctamente o no.

Answer 1

Dejemos que $(A,\leq)$ sea un orden parcial y sea que $x\in A$ sirve como elemento mayor y como elemento menor. Entonces $a\leq x\wedge x\leq a$ para cada $a\in A$ y en consecuencia $A=\{x\}$ .

Dejemos que $(A,\leq)$ sea un orden parcial y sea que $x\in A$ sirve como elemento máximo y como elemento mínimo. Si $g\in A$ sirve como mayor elemento entonces $x\leq g$ y $x\neq g$ contradiría que $x$ es máxima. Así que tenemos $g=x$ para que $g$ también es mínimo. Como mayor elemento es comparable con cada $a\in A$ y la minimización de $g$ nos dice que $g\leq a$ para cada $a\in A$ . Esto significa que $g$ es un elemento mínimo y volviendo a nuestra anterior afirmación encontramos que $A=\{g\}=\{x\}$