volumen de un toroide

Question

Espero que esta pregunta no haya sido contestada todavía.Quiero encontrar el volumen del siguiente conjunto. Creo que es un toroide pero no estoy del todo seguro.El conjunto de puntos es: $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+(2-\sqrt{y^2+z^2})\leq1\}$ Mi primera idea fue que se trata de un círculo que está desplazado de alguna manera por a unidades a lo largo de un eje.Estoy un poco desconcertado sobre el siguiente término: $(2-\sqrt{y^2+z^2})$ ¿qué hace? ¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Su juego es $x^2+1 \le \sqrt {y^2+z^2}$ o $(x^2 + 1)^2 \le y^2+z^2$ Esto no tiene límites en $y$ y $z$ por lo que no se puede calcular su volumen (o simplemente afirmar que es infinito).

Answer 2

No es un toroide.

Reorganizaré la desigualdad: $$\sqrt{y^2+z^2}\ge x^2+1$$ que es el conjunto de puntos en $\Bbb R^3$ que la distancia a la $X$ es mayor o igual que $1$ más el cuadrado de su $x$ coordinar.

Hacer $z=0$ obtenemos $$|y|\ge x^2+1$$ que da dos parábolas simétricas y su "interior". El conjunto de puntos por el que has preguntado se obtiene como la revolución de estas dos parábolas a lo largo de la $X$ eje, una especie de donut infinito (el radio del agujero es $1$ ).

Answer 3

Supongamos que hay un error tipográfico (por favor, ignore esta respuesta si no hay ningún error tipográfico) y que la ecuación debería decir $$x^2+(2-\sqrt{y^2+z^2})^2\leq 1$$ que es la ecuación de un toro con radio del centro de la sección transversal (¿hay un término mejor para esto?) de $c=2$ y el radio de la sección transversal de $s=1$ .

Por el teorema del centroide de Pappus, el volumen del toro viene dado por la sección transversal multiplicada por la distancia recorrida por su centroide, es decir

$$\begin{align} V&=\pi s^2\cdot 2\pi c \\ &=\pi(1)^2\cdot 2\pi(2)\\ &=4\pi^2\qquad\blacksquare \end{align}$$