Demostrando que $\frac{D(a,b,c)}{D(x,y,z)}=1$

Question

Al derivar las ecuaciones de continuidad utilizando la Lagrangiana .

Consideramos el elemento de fluido que ocupaba un paralelepípedo rectangular con centro en el punto $(a,b,c)$ y sus bordes $\delta a$ , $\delta b$ , $\delta c $ paralelo a los ejes . En el momento $t$ el mismo elemento para un paralelepípedo oblicuo . El centro tiene ahora como coordenadas $x$ , $y$ , $z$ y las proyecciones de las aristas sobre los ejes de coordenadas son respectivamente $$ \frac{\partial x}{\partial a} \delta a \ , \ \frac{\partial y}{\partial a} \delta a \ , \ \frac{\partial z}{\partial c} \delta a$$ $$\frac{\partial x}{\partial b} \delta b \ , \ \frac{\partial y}{\partial b} \delta b \ , \ \frac{\partial z}{\partial b} \delta b$$ $$\frac{\partial x}{\partial c} \delta c \ , \ \frac{\partial y}{\partial c} \delta c \ , \ \frac{\partial z}{\partial c} \delta c$$

¿Cómo puedo obtener estas proyecciones? El volumen del paralelepípedo es por tanto $$\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial z}{\partial a} \\ \frac{\partial x}{\partial b} & \frac{\partial y}{\partial b} & \frac{\partial z}{\partial b} \\ \frac{\partial x}{\partial c} & \frac{\partial y}{\partial c} & \frac{\partial z}{\partial c} \end{vmatrix} \delta a \delta b \delta c$$ o como se suele escribir $$\frac{D(x,y,z)}{D(a,b,c)} \delta a \delta b \delta c$$

como la masa del fluido no cambia y el fluido es incompresible tenemos $$\frac{D(x,y,z)}{D(a,b,c)} =1$$

¿Hay alguna manera de demostrar que $$\frac{D(a,b,c)}{D(x,y,z)}= 1$$ sin expandir el determinante ?

Answer 1

Las proyecciones pueden obtenerse utilizando la regla de la cadena: $$ \delta x = \frac{\partial x}{\partial a}\delta a + \frac{\partial x}{\partial b}\delta b + \frac{\partial x}{\partial c}\delta c, $$ etc.

Si entiendo la situación, el paralelogramo oblicuo (infinitesimalmente pequeño) con coordenadas $x$ , $y$ , $z$ da el elemento de volumen a la vez $t$ . Considere el mapa $F_t \colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3: (a,b,c)\mapsto(x,y,z)$ que da la posición futura $(x,y,z)$ en el momento $t$ para un punto con posición inicial $(a,b,c)$ . Sea $G_t$ sea el mapa inverso. Entonces $F_t \circ G_t= id$ .

Nótese que las matrices de los diferenciales $dF_t$ y $dG_t$ son $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial z}{\partial a} \\ \frac{\partial x}{\partial b} & \frac{\partial y}{\partial b} & \frac{\partial z}{\partial b} \\ \frac{\partial x}{\partial c} & \frac{\partial y}{\partial c} & \frac{\partial z}{\partial c} \end{bmatrix} \quad \text{resp.} \quad \begin{bmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial c}{\partial x} \\ \frac{\partial a}{\partial y} & \frac{\partial b}{\partial y} & \frac{\partial c}{\partial y} \\ \frac{\partial a}{\partial z} & \frac{\partial b}{\partial z} & \frac{\partial c}{\partial z} \end{bmatrix}. $$ Desde $F_t$ y $G_t$ son inversas, estas matrices también son inversas entre sí. En consecuencia, sus determinantes $$ \frac{D(x,y,z)}{D(a,b,c)} \quad \text{and} \quad \frac{D(a,b,c)}{D(x,y,z)} $$ son inversos, por lo que $\frac{D(a,b,c)}{D(x,y,z)}$ es $1$ también.