- Puede alguien dar un ejemplo de un complejo colector cuya primera clase de Chern es una de torsión de la clase? En general, parece que las clases de Chern puede tener la torsión de la parte, así como la parte libre. Sin embargo, cuando el uso de Chern-Weil teoría de la computación en términos de de Rham cohomology perdemos la torsión de la parte.
- Hay un ejemplo que tiene tanto libre de torsión y parte?
- Hay un Kähler colector cuya Chern clases que involucran torsión? El uso de la Kähler formulario para calcular la primera clase de Chern puede resultar en la pérdida de la torsión.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En un complejo colector de $X$ la exponencial de la secuencia de las poleas de abelian grupos $$0 \to \mathbb Z \to\mathcal O \stackrel {exp (2i\pi \cdot)}{\to}\mathcal O^*\to 0$$ yields a long exact sequence in cohomology containing the fragment $$\cdots \to H^1(X,\mathcal O) \to H^1(X,\mathcal O^*) \stackrel {c_1}{\to } H^2(X,\mathbb Z) \to H^2(X,\mathcal O) \to \cdots $$ Now suppose $X$ is an Enriques surface: such a surface is projective algebraic and thus certainly Kähler. By definition, it satisfies $$H^1(X,\mathcal O) =H^2(X,\mathcal O)=0 $$ [en la geometría algebraica argot: irregularidad=geométricas género =0]
de modo que nuestro fragmento anterior se reduce a la isomorfismo $$ 0\to H^1(X,\mathcal O^*) \stackrel {c_1}{\to } H^2(X,\mathbb Z)\to 0 $$
Por último, también por definición, la canónica bundle $\omega_X$ de un Enriques la superficie no es trivial, pero su cuadrado es trivial.
El isomorfismo de arriba, a continuación, los rendimientos que $c_1(\omega_X)\neq 0$ pero $2c_1(\omega_X)=0$ , y esto da a los requeridos ejemplo desde $c_1(T_X)=-c_1(\omega _X)$ ( supongo que por "primera clase de Chern de un colector" te refieres a que de su tangente bundle).
