Problema sobre la teoría de Galois y el polinomio irreducible

Question

Dejemos que $p,q$ sean primos, estimar el grado $[\Bbb Q(\sqrt[p]{2}\cdot\sqrt[q]{2}):\Bbb Q]$ y demostrar que el polinomio $X^q-2$ es irreducible en el anillo $\Bbb Q(\sqrt[p]{2})[X]$

He encontrado este problema en la competencia matemática sin ninguna solución y sería muy interesante si podemos encontrar una prueba para esto.

Answer 1

Suponiendo que $p\ne q$ ... Yo reclamo el grado es $pq$ (y por lo tanto $X^q-2$ es irreducible sobre $Q(\sqrt[p]{2})[X]$ ).

Primera nota $[Q(\sqrt[q]{2}:Q] = q$ ya que $X^q-2$ es irreducible sobre $Q$ por Eisenstein. (Lo mismo con $X^p-2$ )

El campo $Q(\sqrt[p]{2},\sqrt[q]{2})$ es el compositum de $Q(\sqrt[p]{2})$ y $Q(\sqrt[q]{2})$ . Sea $L := Q(\sqrt[p]{2})\cap Q(\sqrt[q]{2})$ entonces es bien sabido que $$[Q(\sqrt[p]{2},\sqrt[q]{2}):L] = [Q(\sqrt[p]{2}):L]\cdot[Q(\sqrt[q]{2}):L]$$

Por lo tanto, basta con demostrar que $L = Q$ pero esto se desprende del hecho de que $[L:Q]$ divide ambos $[Q(\sqrt[q]{2}):Q] = q$ y $[Q(\sqrt[p]{2}):Q] = p$ y $q,p$ son coprimos, por lo que $[L:Q] = 1$ .

Answer 2

Por supuesto $p$ y $q$ son diferentes primos. Entonces $\sqrt[p]2\cdot\sqrt[q]2=2^{(q+p)/pq}$ y así su gran campo está ciertamente contenido en $\Bbb Q(2^{1/pq})$ . Por otra parte, dado que $p+q$ es relativamente primo de $pq$ hay números enteros $A$ y $B$ con $A(p+q)+Bpq=1$ . Ahora, $2^B\cdot\bigl(2^{(p+q)/pq}\bigr)^A=2^{(Bpq+A(p+q))pq}=2^{1/pq}$ . Es decir, si $\mu=2^{1/pq}$ y $\rho=2^{(q+p)/pq}$ tenemos $\mu=2^B\rho^A$ para que la inclusión opuesta $\Bbb Q(2^{1/pq})\subset\Bbb Q(2^{1/p + 1/q})$ también se mantiene, y el grado sobre $\Bbb Q$ es exactamente $pq$ .

Para tu segunda pregunta, creo que el análisis de @oxeimon es justo.

Tal vez podría decir que un enfoque mucho más avanzado, incrustando $\Bbb Q$ en $\Bbb Q_2$ El $2$ -números arcaicos, y las propiedades más simples del polígono de Newton, obtendría su respuesta mucho antes.