Tengo un problema con la inversión de una función

Question

Esta es probablemente una pregunta muy tonta, pero me desconcertó invertir una función. La función a considerar es la siguiente

Por lo tanto, quiero resolver para $u$ en términos de $x$ en la siguiente ecuación $$xu^{2}=x-u$$

Puedo obtener la respuesta correcta mediante el siguiente procedimiento:

$\rightarrow4x^{2}u^{2}=4x^{2}-4ux$ (Multiplicando por $4x$ )

$\rightarrow4u^{2}(1+4x^{2})=4x^{2}-4ux+u^{2}$ (Añadiendo $u^{2}$ a ambos lados)

$\rightarrow u^{2}(1+4x^{2})=\left(2x-u\right)^{2}$ (factorizando el lado derecho)

$\rightarrow u\sqrt{1+4x^{2}}=\left(2x-u\right)$ (Tomando la raíz cuadrada positiva)

$\rightarrow u=\frac{2x}{1+\sqrt{1+4x^{2}}}$

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La pregunta es: ¿Por qué utilizar la fórmula cuadrática para resolver $xu^{2}=x-u$ para $u$ no da la respuesta correcta?

Answer 1

$xu^2+u-x=0$

$a=x$

$b=1$

$c=-x$

Así que $u=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4(x)(-x)}}{2x}$

Multiplica arriba y abajo por -1 dando:

$u=\frac{1 \mp \sqrt{1+4x^2}}{-2x}$

Racionalizar el numerador

$u=\frac{1 \mp \sqrt{1+4x^2}}{-2x} \cdot \frac{1 \pm \sqrt{1+4x^2}}{1 \pm \sqrt{1+4x^2}}$

$u=\frac{1-(1+4x^2)}{-2x(1 \pm \sqrt{1+4x^2}}$

$u=\frac{-4x^2}{-2x(1 \pm \sqrt{1+4x^2})}$

$u=\frac{2x}{1 \pm \sqrt{1+4x^2}}$

Ahora debe tener en cuenta las restricciones del dominio.