Irreductibilidad de $\sum_{n=0}^{101}\frac{x^n}{n!}$

Question

¿Qué se puede decir de la irreductibilidad de $\sum_{n=0}^{101}\frac{x^n}{n!}$ sobre el campo de los racionales?

Multiplicar y dividir en todo por $101!$ obtenemos que el polinomio dado es irreducible si el polinomio $\sum_{n=0}^{101}P_{n}^{101}x^n$ , donde $P_r^n$ es el número de permutaciones de $r$ artículos de $n$ artículos. El nuevo polinomio no parece tener una raíz según el teorema de la raíz racional. Pero, ¿cómo seguimos adelante? Espero que sea irreducible sobre $\mathbb{Q}[x]$ . ¿Algún consejo? Gracias de antemano.

Answer 1

Gracias al comentario de @ThomasAndrews, el problema es sencillo, el polinomio modificado $\sum_{n=0}^{101}P_{n}^{101}x^n$ satisface claramente el criterio de Eisenstein con el número primo $101$ dividiendo todos los coeficientes excepto el último y el cuadrado de $101$ sin dividir el coeficiente principal de $101!$ .

Answer 2

Según el teorema de Schur todas las exponenciales truncadas de la forma $\sum_{n=0}^{k}\frac{x^n}{n!}$ son irreducibles sobre racionales, véase, por ejemplo, la nota de Keith Conrad Irreductibilidad de los exponenciales truncados para una prueba correcta. De hecho, el siguiente resultado más general se demuestra allí utilizando la teoría algebraica de los números:

Cualquier polinomio $$1+c_1X+c_2\frac{X^2}{2!}+\dots+c_{n-1}\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}\pm \frac{X^n}{n!}$$ con $c_i \in \mathbb{Z}$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ .

El tuyo es sólo un caso especial, aunque como se señala en los comentarios/otra respuesta ese caso puede demostrarse mucho más sencillo.