Pregunta de varianza simple: varianza de toda la expresión cuando una variable es aleatoria

Question

¡Una pregunta muy simple sobre la varianza!

Estoy interesado en la varianza de una expresión con una variable aleatoria en su interior.

Para una expresión de esta forma:

$a = \sum_{i=1}^{m}(x_i \cdot y_i - z_i)$

donde $y_i$ es una variable aleatoria con una expectativa $\mathbb{E}(y_i)$ la expectativa de toda la función sería simplemente:

$\mathbb{E}(a)=\sum_{i=1}^{m}(x_i \cdot \mathbb{E}(y_i) - z_i)$

Dado que la varianza es $Var(a)=\mathbb{E}(a^2)-(\mathbb{E}(a))^2$ Si no es así, supongo que puedo introducir esta expresión (si es correcta) en la fórmula de la varianza. ¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

Si $x_i$ y $z_i$ son constantes deterministas para cada $i = 1, \ldots, m$ y $m$ es también una constante conocida, es decir, $y_i$ para $i = 1, \ldots, n$ son los sólo variables aleatorias involucradas, y son independientes--entonces la varianza de $a$ se calcula mejor como $$\operatorname{Var}[a] \overset{\text {ind}}{=} \sum_{i=1}^m x_i^2 \operatorname{Var}[y_i].$$ Esto se debe a que $z_i$ al ser determinista, tiene varianza cero. Si el $y_i$ no son independientes, entonces la varianza de $a$ requerirá conocer las covarianzas entre cada $y_i$ , $y_j$ para $1 \le i \ne j \le m$ además de las desviaciones de cada $y_i$ .