Convergencia de las series de potencia.

Question

Dejemos que $f(z)=\sum a_nz^n$ sea una serie de potencias con radio de convergencia $R.$ Ahora puedo decir que hay al menos un punto en el círculo de convergencia $|z|=R$ en la que la serie de potencias no converge? Lo pienso porque si la serie de potencias es convergente en todos los puntos del círculo de convergencia entonces $f$ será analítica en $|z|=R$ y el radio de convergencia aumentará y que no es posible. ¿Estoy en lo cierto? Por favor, sugiérame. Muchas gracias.

Answer 1

Puede considerar $a_n=1/n^2$ . La serie de potencias tiene radio de convergencia 1 pero converge en todos los puntos de la frontera del círculo unitario.