Existen grupos finitos no isomorfos con la misma tabla de caracteres (complejos), como $D_4$ y $Q_8$ .
$$\scriptsize\begin{array}{c|c} \text{class}&1&2A&2B&2C&4 \newline \text{size}&1&1&2&2&2 \newline \hline \rho_1 &1&1&1&1&1 \newline \rho_2 &1&1&-1&1&-1 \newline \rho_3 &1&1&1&-1&-1 \newline \rho_4 &1&1&-1&-1&1 \newline \rho_5 &2&-2&0&0&0 \newline \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{c|c} \text{class}&1&2&4A&4B&4C \newline \text{size}&1&1&2&2&2 \newline \hline \rho_1 &1&1&1&1&1 \newline \rho_2 &1&1&-1&1&-1 \newline \rho_3 &1&1&1&-1&-1 \newline \rho_4 &1&1&-1&-1&1 \newline \rho_5 &2&-2&0&0&0 \newline \end{array}$$ Pero las tablas de caracteres de $D_4$ y $Q_8$ no son más iguales si incluimos los tipos de clase, ya que $(1,2A,2B,2C,4) \neq (1,2,4A,4B,4)$ . Una clase es del tipo $nX$ si sus elementos tienen orden $n$ .
Pregunta 1 : ¿Existen grupos no isomorfos con la misma tabla de caracteres incluyendo ¿tipos de clase?
Respuesta : Sí (véase el comentario de Derek Holt) y se llaman pares Brauer. Entre los $2$ -grupos, el orden más pequeño de un grupo en un par de Brauer es $2^8$ y entre los $56092$ grupos de orden $2^8$ hay exactamente diez pares de Brauer (véase MR2680716 Teorema 2.6.2 página 136).
Me interesan específicamente los grupos de orden libre de cuadrados.
Pregunta 2 : ¿Existe un par de Brauer de grupos de orden libre de cuadrados?
(a menos que dos grupos de orden libre de cuadrados con la misma tabla de caracteres sean isomorfos)
