Equivalente superficial de la curva catenaria

Question

A curva catenaria es la forma que adopta una cadena o cuerda idealizada que cuelga bajo la influencia de la gravedad. Tiene la ecuación $y= a \cosh (x/a)$ . Mi pregunta es:

¿Cuál es la forma que adopta una lámina bidimensional idealizada fijada en un plano paralelo al suelo, bajo la influencia de la gravedad?

La respuesta depende seguramente de cómo se fije en el plano, de las condiciones de contorno condiciones. Las opciones naturales son:

• Una hoja de disco fijada a un círculo.
• Una hoja cuadrada fijada a un cuadrado.
• Una hoja cuadrada clavada en sus cuatro esquinas.

La opción del medio arriba se vería algo así cuando se invierte:

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           (Imagen de Tim Tyler en hexdome.com .)

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No creo que ninguna de estas formas sea una catenoide , que es la superficie de revolución formada por una curva catenaria. ¿Existe una descripción analítica sencilla de alguna de estas superficies análoga a la $\cosh$ ¿Ecuación para la curva de la catenaria? No he tenido éxito en encontrar nada más que simulaciones de soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Esta cuestión surgió al imaginar una versión de mayor dimensión de la propiedad de que una catenaria invertida soporta la marcha suave de una bicicleta de ruedas cuadradas bicicleta (explorada en este modus operandi pregunta). Gracias por los consejos.

Answer 1

Una ecuación modelo para una superficie inextensible, exible y pesada en un eld gravitacional fue deducida por Poisson Lagrange y, posteriormente, el problema fue estudiado también por Poisson (véanse las referencias en los artículos enlazados más abajo). La condición de equilibrio para una superficie pesada colgante de densidad de masa constante es $$\sqrt{1+|\nabla u|^2}\ \nabla\cdot{}\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}=\frac{1}{u+\lambda},\qquad x\in\Omega\subset\mathbb R^2,\qquad\qquad(1)$$ donde $u=u(x)$ es el desplazamiento vertical y $\lambda\in\mathbb R$ es una constante arbitraria (un multiplicador de Lagrange). (1) es la ecuación de Euler de la integral variacional $$I(u)=\int_{\Omega}u\sqrt{1+|\nabla u|^2}dx,$$ que puede interpretarse como la coordenada vertical del centro de gravedad de la superficie $$\mbox{graph}(u)=\{(x,u(x)):\ x\in\Omega\}\subset\mathbb R^2\times\mathbb R.$$

La ecuación (1) debe completarse con el requisito de que la superficie tenga un área prescrita $A$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\int_{\Omega}\sqrt{1+|\nabla u|^2}dx=A,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad(2) $$ y la condición de contorno de Dirichlet que describe la curva de la que se suspende la superficie $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\left.u\right|_{\partial \Omega}=g.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(3) $$ Se puede comprobar formalmente que una solución a (1)-(3) proporciona una gráfica de una superficie pesada de área y límite prescritos con el centro de gravedad más bajo, por lo que se trata de un análogo 2D preciso del problema clásico de la catenaria.

Se sabe que el problema (1)-(3) no tiene soluciones clásicas para los valores de área $A$ fuera de algún intervalo acotado $[A_{\min},A_{\max}]$ . Además, el problema variacional correspondiente no tiene soluciones globales para todo $A\in\mathbb R$ . En el artículo de Dierkes y Huisken, "The N-dimensional analogue of the catenary: Prescribed area", en J. Jost (ed) Cálculo de Variaciones y Análisis Geométrico , Int. Press (1996), pp. 1-13.

Adenda. Aquí hay una encuesta más reciente de Dierkes: "Superficies mínimas singulares" (en Análisis geométrico y ecuaciones diferenciales parciales no lineales , Springer (2003), pp. 177-194).

Answer 2

Lo que me viene a la mente es la superficie capilar incluyendo la gravedad. Véase la nota de Finn, disponible gratuitamente en pdf, como referencia al final de:

http://en.wikipedia.org/wiki/Capillary_surface

Hmmm, tal vez no . Su superficie no tendría una gran región plana en el centro...

Una superficie catenaria girada no es isométrica con respecto a un disco plano. Así que podríamos preguntarnos, por ejemplo, por una lámina de caucho, pegada a lo largo de un límite, y que se deja combarse en el centro por efecto de la gravedad. La energía elástica se parece menos al operador de curvatura media en favor del laplaciano ordinario

http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_energy

Parece que estás buscando la ecuación biharmónica, ya que el campo vectorial de la fuerza de gravedad se considerará constante y sin divergencia, por lo que el desplazamiento $u$ satisface $\Delta^2 u = 0.$ Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_elasticity#Elastostatics