Discontinuidades de $\sum \frac{x^{\rho}}{\rho}$

Question

H. Edwards en su libro sobre la función zeta dice que $\sum\frac{x^{\rho}}{\rho}$ converge condicionalmente "incluso cuando $\rho ,1-\rho$ están emparejados". He probado a calcular algunos términos (n = 500 más o menos) y he observado el resultado que aparece a continuación. Podría ser una mala programación por mi parte o un aspecto del cálculo para números bajos.

Las expresiones de abajo asumen RH pero estoy preguntando sobre el cálculo para n finito pequeño.

$$\sum \frac{x^{\rho}}{\rho} = \sum_n \frac{x^{\rho_n}}{\rho_n}+\frac{x^{1-\rho_n}}{1-\rho_n}$$

parece ser cero o (ser continua a trozos y) tener discontinuidades en x = primo. Y al igual que (por ejemplo) las aproximaciones de Fourier de onda cuadrada hay un efecto notable de tipo Gibbs cerca de estas discontinuidades.

$\rho_n$ son ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Debería añadir la posibilidad de que lo que parece ser primo pueda ser casi primo.

He comprobado a través de $x = 100.$ El 83 parecía dudoso hasta que utilicé una aproximación mejor y el 97 parece requerir más sumandos de los que tengo tiempo de calcular. Los primos son no los únicos puntos de este tipo. La expresión parece mostrar el mismo comportamiento para un montón de compuestos (4 es uno) menos de 20 pero menos a medida que x crece.

¿Alguien puede explicar por qué esto es así? Gracias.

FWIW como una comprobación de mi trabajo creo que la expresión de abajo en la que $\alpha_{n}$ son la parte imaginaria de $\rho_n$ es equivalente y (al igual que el 2d anterior) asume RH. Parece dar la misma aproximación que la segunda expresión anterior.

$$\sum_{\zeta(\rho)=0}\frac{x^{\rho}}{\rho} = \sqrt{x}\cdot\sum_{n =1}^{\infty}\frac{\cos(\alpha_{n}\ln x)+2\alpha_{n}\sin(\alpha_{n}\ln x)}{1/4+\alpha_{n}^2}\hspace{5mm}$$

Answer 1

Esto es de esperar, dado el fórmula explícita . Esta serie no nos da la función de recuento de primos directamente (donde esperaríamos discontinuidades en los primos pero no en los compuestos), sino una función de recuento de primos "reponderada", la $2$ y la función de Chebyshev. Tenemos

$$\psi(x)=\sum_{p^v\le x}\log p=x-\left(\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}\right)-\log(2\pi)-\frac{1}{2}\log\left(1-\frac{1}{x^2}\right).$$

Claramente $\psi(x)$ debe esperarse que tenga discontinuidades no sólo en los primos sino en todas las potencias primos, como el ejemplo $x=4=2^2$ que encontraste, y ninguna de las otras cantidades del lado derecho, $x$ , $\log(2\pi)$ o $\log(1-x^{-2})$ tendrá discontinuidades en los reales positivos $>2$ .