¿Existe alguna función especial correspondiente a $\int_{-1}^1 \frac{1-e^{b(x-a)}}{(x-a)^2}\sqrt{1-x^2}dx$ ?

Question

Intento conseguir una expresión para esta difícil integral:

$$\int_{-1}^1 \frac{1-e^{b(x-a)}}{(x-a)^2}\sqrt{1-x^2}dx\quad b>0,\;a>1$$

También podría escribirse en términos de funciones trigonométricas con $x=\cos \theta$ .

¿Puede, por casualidad, escribirse en términos de funciones especiales conocidas?

EDITAR:

En realidad, lo difícil es $$\int_{-1}^1 \frac{e^{bx}}{(x-a)^2}\sqrt{1-x^2}dx\quad b>0,\;a>1$$

Escrito como una integral sobre un contorno complejo (el círculo unitario), el polo $z=0$ es esencial.

$$\oint e^{b(\sqrt{z}+1/\sqrt{z})/2}\left(\frac{z-1}{z+1-2a\sqrt{z}}\right)^2\frac{dz}{iz}\quad b>0,\;a>1$$

¿Alguna idea para calcular este residuo?

Answer 1

Con mucha confianza, no.

Nótese que como la función tiene parámetros variables, la integral definida equivale a una indefinida.

Y Wolfram Alpha capitula.