Límites de inyectividad para funciones analíticas complejas

Question

Dejemos que $$f(z) = z - \sum^\infty_{n=2} a_nz^n.$$ ¿Cuál es la pelota más grande que existe? $0$ donde $f$ es inyectiva?

Si nos limitamos al caso en que $a_n \geq 0,$ parece que el radio debería estar dado exactamente por el mínimo cero positivo de $f'(x).$ ¿Existe una prueba fácil de análisis complejo de este hecho en este caso especial?

Answer 1

He aquí una prueba de apoyo a la conjetura hecha al final. Dejemos que $f$ sea un plynomio (o una función entera). Tenemos $f'=1-P$ ; donde $P$ es una serie de potencias con coeficientes positivos. Afirmo que el cero de $f'$ que está más cerca del origen es positivo. En efecto, este cero es la singularidad más cercana al origen de la función $$1/f'=1/(1-P)=1+P+P^2+P^3+... .$$ Pero se trata de una serie de potencias con coeficientes positivos, por lo que la singularidad más cercana al origen debe estar en el rayo positivo por el teorema de Pringsheim.

Sin embargo, esto no demuestra la conjetura, incluso para los polinomios, porque puede haber otros obstáculos a la inyectividad, distintos de un cero de $f'$ . Hay que demostrar que estos otros obstáculos no pueden ocurrir para tales series.

EDIT: ¡De hecho la conjetura es cierta! Dejemos que $f(z)=z-Q(z)$ , $Q$ tiene coeficientes positivos y doble cero en el cero. Supongamos sin pérdida de generalidad que el cero de $f'$ de el módulo más pequeño está fuera del disco $D$ de radio $r$ con centro en el origen.

Queremos demostrar que $f$ es inyectiva en este disco. Consideremos $P=Q'$ . Entonces $P(0)=0$ y $P$ tiene coeficientes positivos. Así que $P$ está aumentando en $(0,r)$ y no puede tomar el valor $1$ . Así, $|P(z)|$ es menor que $k$ en $D$ con algunos $k\in(0,1)$ porque los coeficientes son positivos.

Ahora demostramos la afirmación por contradicción. Supongamos que $f(z_1)=f(z_2)$ con $z_j$ en el disco de la unidad. Integrando a lo largo de la línea recta segmento que conecta $z_1$ y $z_2$ obtenemos $$0=f(z_2)-f(z_1)=\int_{z_1}^{z_2}f'(\zeta)d\zeta=z_2-z_1-\int_{z_1}^{z_2}P(\zeta)d\zeta.$$ Estimando la integral, obtenemos $$|z_1-z_2|=\left|\int_{z_1}^{z_2}P(\zeta)d\zeta\right|\leq k|z_1-z_2|,$$ que es una contradicción. Esto demuestra su conjetura.

Answer 2

El teorema de Branges / la conjetura de Bieberbach dice que si $f$ es inyectiva en el disco unitario entonces $|a_n| \leq n$ . Entonces, si $f$ es inyectiva en la bola de radio $r$ que reescalando $|a_n| \leq n /r^{n_1}$ por lo que tenemos el límite superior

$r \leq \sup_{n\geq 2} \left( \frac{a_n}{n}\right)^{\frac{-1}{n-1} } $

Para todos $a_n$ no negativo, su límite es al menos tan fuerte como éste, por lo que no se puede utilizar para construir contraejemplos.

Answer 3

La pregunta puede responderse de forma general con http://arxiv.org/abs/1303.6011 es de la siguiente manera.

Se toma una función en algún polidisco $$f(z) = id(z) - \sum_{|I|\geq2} a_Iz^I.$$ Dónde $a_I\geq 0.$ Como en el papel vamos a evaluar en las tuplas conmutativas de matrices. (Esto satisface las condiciones de los dominios utilizados en el documento) La derivada de f (sobre tuplas conmutativas de matrices) satisface la siguiente desigualdad $$\|Df_i(z)[h]\|\geq Df_i(\|z\|)[\|h\|]$$ (donde estamos abusando de $\|x\| = (\|x_1\|,\ldots,\|x_n\|).)$ Así, si la derivada es singular, lo que equivale a la no inyectabilidad por el teorema, en alguna tupla matricial $z$ en alguna dirección $h$ tenemos que $$0\geq Df_i(\|z\|)[\|h\|]$$ Así, $$\langle Df(\|z\|)[\|h\|],\|h\| \rangle \leq 0.$$ Así que $Df[\|z\|]$ tiene un valor propio no positivo. Por lo tanto, en el segmento de línea entre $0$ y $\|z\|$ hay un punto $w$ tal que $Df[w]$ es singular y semidefinido positivo. (La derivada en el cero es la identidad y la derivada es simétrica real por suposición) Así $f$ no es inyectiva en el dominio.