Tengo una pregunta un poco tonta, que probablemente tenga una respuesta fácil que yo mismo debería conocer, pero ahí va. Digamos que queremos integrar $$ \int_{-\infty}^\infty dx \frac{1}{(x^2 + 1)(x - 1 - i)}. $$ Si nos vamos a la llanura compleja, tenemos dos polos en el semiplano superior y sólo uno en el semiplano inferior. Usando el teorema del residuo, si cerramos el contorno en el plano superior (el integrando desaparece lo suficientemente rápido para que esto esté permitido): $$ I_{up}=2 \pi i * \left( \frac{1}{2i*1}+\frac{1}{(2i + 1 )*1}\right)=\pi/5*(9+2i), $$ mientras que el cierre en el plano medio inferior da: $$ I_{down} = -2 \pi i \left(\frac{1}{-2i*(-2i-1)}\right)=\pi/5(2i-1). $$ Tenía la impresión de que cerrar por debajo o por encima no debería importar, si el integrando desaparece en ambos casos. ¿Qué estoy haciendo mal aquí?
Respuesta
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Tu comprensión es correcta; sólo has cometido un error de álgebra. En su cálculo de $I_{up}$ el primer denominador $2i*1$ debe ser $2i*(-1)$ .
(Nota al margen: es confusa la forma en que has escrito $I_{down} = \pi/5(2i-1)$ cuando quieres decir $\frac\pi5(2i-1)$ y no $\frac{\pi}{5(2i-1)}$ - especialmente desde que incluyó explícitamente el $*$ en la última expresión para $I_{up}$ .)
