La siguiente fórmula para $\pi$ fue descubierto por Ramanujan: $$\frac1{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!$$
¿Alguien sabe cómo funciona o cuál es su motivación?
He aquí una sencilla introducción a los conceptos básicos, " Fórmulas Pi y el Grupo Monster ".
http://sites.google.com/site/tpiezas/0013
Actualización: Para que esto resulte más intrigante, defina la opción unidad fundamental $U_{29} = \frac{5+\sqrt{29}}{2}$ y soluciones fundamentales para Ecuaciones Pell ,
$$\big(U_{29}\big)^3=70+13\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{70}^2-29\cdot\color{blue}{13}^2=-1$$
$$\big(U_{29}\big)^6=9801+1820\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{9801}^2-29\cdot1820^2=1$$
$$2^6\left(\big(U_{29}\big)^6+\big(U_{29}\big)^{-6}\right)^2 =\color{blue}{396^4}$$
entonces podemos ver esos enteros en toda la fórmula como,
$$\frac{1}{\pi} =\frac{2 \sqrt 2}{\color{blue}{9801}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{29\cdot\color{blue}{70\cdot13}\,k+1103}{\color{blue}{(396^4)}^k}$$
Véase también Puesto MO .
Este es uno de los resultados más interesantes que dio Ramanujan y tiene una teoría muy profunda y hermosa detrás. La mayoría de las referencias relativas a esta fórmula intentan tratarla de manera pretenciosa utilizando formas modulares. Ramanujan mismo obtuvo esta fórmula permaneciendo dentro de los límites del análisis real y yo he presentado estas ideas junto con pruebas en mi entrada del blog .
Tenga en cuenta que el cálculo real para obtener los números 1103 y 26390 en la fórmula es difícil. Especialmente nadie sabe cómo Ramanujan obtuvo 1103 y el enfoque moderno para obtener 1103 se basa en cálculos numéricos.
Por la teoría de Ramanujan (explicada en la entrada de mi blog enlazada más arriba) podemos encontrar infinitas series de la forma $$\frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty}(a + bn)d_{n}c^{n}\tag{1}$$ donde $a, b, c$ son ciertos números algebraicos específicos y $d_{n}$ es una secuencia de racionales expresada normalmente en términos de factoriales. La teoría moderna de las formas modulares nos permite obtener más detalles sobre su naturaleza algebraica (digamos por ejemplo que podemos obtener el grado de los polinomios mínimos de $a, b, c)$ . En el caso de la fórmula actual puede demostrarse que tanto $a, b$ deben ser irracionales cuadráticos y $c$ resulta ser un número racional. El cálculo de $b, c$ es posible por fórmulas dadas por Ramanujan. Es el valor de $a$ (relacionado con $1103$ ) que es difícil de obtener. Ahora bien, el planteamiento moderno es el siguiente. Puesto que conocemos el valor de $b, c$ y $\pi$ (mediante algún otro cálculo en serie) podemos hallar el valor numérico de $a$ . Sabiendo que es un irracional cuadrático podemos buscar enteros $p, q, r$ tal que $a$ es una raíz de $px^{2} + qx + r = 0$ . De esta forma se encuentra la ecuación cuadrática y la raíz $a$ se evalúa en forma algebraica.
Existen fórmulas directas para calcular $a, b, c$ y tenemos dos formas de tales fórmulas. Una de las formas es una fórmula finita que puede requerir cálculos de naturaleza algebraica (de modo que efectivamente el valor es expresable como una expresión radical). Otra fórmula se basa en un enfoque de serie/producto infinito que puede dar valores numéricos de $a, b, c$ . Mientras que la fórmula algebraica para $b, c$ es fácil de calcular, la fórmula algebraica para $a$ es muy difícil de calcular. De ahí que el enfoque moderno se base en el cálculo numérico de $a$ . Pero sospecho muy fuertemente que Ramanujan siendo un experto en la manipulación radical debe haber encontrado el valor algebraico de $a$ utilizando una manipulación radical directa.
A este respecto también intente leer el libro "Pi and the AGM" de los hermanos Borwein ya que ellos fueron los primeros en demostrar esta fórmula de Ramanujan. Véase también esta respuesta en mathoverflow para calcular la constante $1103$ .
@Derek Jennings
La serie general dada en MathWorld es la descubierta por los hermanos Chudnovsky y es una serie diferente basada en las ideas de Ramanujan, pero la serie en cuestión no puede obtenerse a partir de esta fórmula general de Chudnovsky. Una prueba de esta serie general de Chudnovsky se presenta en mi entrada del blog .
La explicación de la existencia de esta serie se da aquí. Buscar la frase "La forma general de la serie es" para localizarla. La serie citada en la pregunta aparece inmediatamente antes de la explicación.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Este artículo de W. Zudilin puede darle algunas referencias donde buscar información sobre lo que pregunta. También afirma que Ramanujan no explicó cómo obtuvo sus fórmulas para $1/ \pi$ .
25 votos
Ese loco de Ramanujan nunca puede decirnos nada útil... :D
47 votos
Se podría construir todo un sitio de preguntas y respuestas a partir de "¿cuál es la motivación de X?" con X repasando las identidades de Ramanujan
0 votos
No creo que haya una "motivación" detrás de esto, sino diversión. A Ramanujan le gustaban las matemáticas por diversión, como a la mayoría de los matemáticos.
1 votos
Me pregunto si todos los $99$ y $4$ en esto son alguna pista de su método o procesos de pensamiento. ( $9801=99^2$ y $396=4\cdot 99$ saltar fuera)
0 votos
@timtfj Improbable. Se dice que Ramanujan recibió visiones de cierta diosa (he olvidado quién).
0 votos
@timtfj Tiene que ver con la $411$ 's, $137$ 's; $666$ / $616$ y $911$ 's. ¿Puedes encontrarlos también en la fórmula alternativa de es.wikipedia.org/wiki/Agoritmo_de_Chudnovsky ?
0 votos
Obsérvese también la disposición de los cuatro $4$ en el primero, y, los cinco $3$ 's en este último ... los numerales con el $k$ y $q$ respectivamente, sino como dimensiones.