Demuestre que los elementos no son conjugados con su inverso en los grupos de orden impar.

Question

Demuestre que si G es un grupo de orden impar, entonces no $x\in G$ que no sea la identidad es conjugada a su inversa.

No podemos tener elementos de orden 2, ya que por el teorema de Lagrange esto significaría que el subgrupo generado por ese elemento tendría que dividir el orden del grupo, pero G es impar por lo que esto no puede suceder. Por lo tanto no podemos tener $x = x^{-1}$ .

Supongamos ahora que existe un elemento $x\in G$ tal que $x^{-1}=gxg^{-1}$ para algunos $g\in G$ . Supongamos que $y\in\operatorname{Orb}_G(x)$ , por lo que tenemos $y=qxq^{-1}$ . Entonces $y^{-1}=qx^{-1}q^{-1}=qgxg^{-1}q^{-1}$ lo que implica que $y^{-1}\in\operatorname{Orb}_G(x)$ .

Así que para cada $y\in\operatorname{Orb}_G(x)$ también tendremos $y^{-1}\in \operatorname{Orb}_G(x)$ Así que $\operatorname{Orb}_G(x)$ debe ser par, pero por el teorema del estabilizador de la órbita tenemos $|\operatorname{Orb}_G(x)|=[G:C_G(x)]$ , donde $C_G(i)$ es el centralizador del grupo $G$ para el elemento $x$ pero por Lagrange esto debe dividir el orden del grupo $G$ que es impar, por lo que esto no puede suceder. Por lo tanto, nuestra suposición original es errónea y obtenemos nuestro resultado.

Answer 1

Su línea de razonamiento es correcta, pero la forma en que está redactado el argumento no es del todo correcta:

1. Primero concluye que no podemos tener $x=x^{-1}$ , pero tenemos $e=e^{-1}$ . Tal vez se refiera a cualquier $x\in G$ que no sea $x=e$ ?
2. Desde $y,y^{-1}\in\operatorname{Orb}_G(x)$ se concluye que el orden de $\operatorname{Orb}_G(x)$ debe ser par. Pero, ¿y si $y=y^{-1}$ para algunos $y\in\operatorname{Orb}_G(x)$ ? Una vez más hay que tratar el caso $x=e$ por separado.

Aparte de esto, su prueba es sólida. Como nota al margen, como comenta el usuario Jack Yoon, una notación más común para $\operatorname{Orb}_G(x)$ sería $\operatorname{Cl}_G(x)$ que es la clase de conjugación de $x$ en $G$ .