Esta pregunta se refiere a algunos equivalentes del teorema de Hahn-Banach en $\textsf{ZF}$ teoría de conjuntos. Hasta donde yo sé, la referencia definitiva para este tipo de cosas es el libro de Howard & Rubin Consecuencias del axioma de la elección a la que me refiero a continuación. (El teorema de Hahn-Banach es la "Forma 52" del libro).
El punto de partida de mis preguntas sobre este tema es el siguiente equivalente de Hahn-Banach:
[52D] Deja $\mathcal B_0$ sea una subálgebra de un álgebra booleana $\mathcal B$ y que $m_0$ sea una medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real definida en $\mathcal B_0$ . Entonces existe una medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real $m$ que es una extensión de $m_0$ de $\mathcal B_0$ a $\mathcal B$ y el rango de $m$ está contenida en el casco convexo cerrado de $m_0$ .
La primera pregunta que tenía es:
¿Hasta qué punto son necesarias las álgebras booleanas abstractas en [52D]? En particular, si sólo exigimos que [52D] se cumpla para las álgebras booleanas de subconjuntos, como en [52?] más adelante, ¿se sigue manteniendo la equivalencia con Hahn-Banach?
En caso de que esté tentado de apelar al teorema de representación de Stone aquí, tenga en cuenta que ese teorema es más fuerte que el de Hahn-Banach, por lo que no estamos libres de invocarlo.
Se conocen equivalentes teóricos de Hahn-Banach que no requieren álgebras booleanas abstractas. Por ejemplo:
[52C] Para todo conjunto no vacío $X$ y todo ideal propio $\mathcal I$ sobre el conjunto de poderes de $X$ existe una medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real $m$ definido en cada subconjunto de $X$ tal que $m(I)=0$ por cada $I \in \mathcal I$ .
Ahora bien, [52C] está claramente implicado por la conjunción de
[A] Para todo conjunto no vacío $X$ y todo ideal propio $\mathcal I$ sobre el conjunto de poderes de $X$ existe una medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real $m$ definido en $\mathcal A(\mathcal I)$ tal que $m(I)=0$ por cada $I \in \mathcal I$ , donde $\mathcal A(\mathcal I)$ es el álgebra de subconjuntos de $X$ generado por $\mathcal I$
y
[¿52?] Para cada conjunto $X$ cada álgebra $\mathcal A_0$ de subconjuntos de $X$ y toda medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real $m_0$ en $\mathcal A_0$ existe una medida de probabilidad finitamente aditiva de valor real $m$ que es una extensión de $m_0$ de $\mathcal A_0$ al conjunto de poderes de $X$ .
Pero me parece que [A] es un teorema de $\textsf{ZF}$ . De hecho, cada conjunto en $\mathcal A(\mathcal I)$ es de la forma $$\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^{m_i}A_{ij},$$ donde cada $A_{ij}$ está en $\mathcal I$ o su complemento es. Así, al establecer $m(I)=0$ para todos $I \in \mathcal I$ determina de forma única una medida de probabilidad de valor 0-1 en $\mathcal A(\mathcal I)$ .
Si eso es correcto, entonces [52?] implica [52C]. Y claramente [52D] implica [52?]. Así que [52?] es realmente equivalente a Hahn-Banach, aunque parece bastante más débil que [52D]. Preguntas finales:
¿Es correcto este razonamiento? Si es así, ¿hay alguna referencia para este resultado (parece muy probable que se haya notado antes, si es cierto)?
