Escribir una función a trozos para $f(x) = \mid x+3\mid -\mid x-1\mid $

Question

Quiero escribir una función a trozos para lo siguiente:

$$f(x)= \mid x+3\mid -\mid x-1\mid $$

Sé cómo escribir funciones a trozos para funciones que tienen un solo conjunto de paréntesis de valor absoluto, pero no sé cómo tratar con dos conjuntos de paréntesis. Una pista sería apreciada.

Answer 1

Tratar tres casos distintos :

1. Cuando $x+3\geqslant0$ y $x-1\geqslant0$ .
2. Cuando $x+3\lt0$ y $x-1\geqslant0$ .
3. Cuando $x+3\geqslant0$ y $x-1\lt0$ .
4. Cuando $x+3\lt0$ y $x-1\lt0$ .

También puede utilizar una tabla para ver los signos que está tomando cada expresión dentro de los valores absolutos :

$$ \begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & -3 & & 1 & \infty \\ \hline x-1 &\qquad \color{green}{-} & \big| & \color{green}- & 0 & \color{red}+\qquad \\ \hline x+3 & \qquad\color{green}- & 0 & \color{red}+ & \big| & \color{red}+\qquad \\ \hline -|x-1| & \,\,\,\,\,\,\,x-1 & \big| & x-1 & \big| & -x+1\quad \\ \hline |x+3| & \,\,\,-x-3 & \big| & x+3 & \big| & x+3\quad \\ \hline \end{array} $$ En la tabla, si $x\in(-\infty,-3\,]$ entonces $f(x)=(x-1)+(-x-3)=\ldots$ si $x\in[-3,1]$ entonces $f(x)=(x-1)+(x+3)=\ldots$ si $x\in[1,\infty)$ entonces $f(x)=(-x+1)+(x+3)=\ldots$ Supongo que puedes continuar desde aquí.

Answer 2

La idea es la siguiente:

El valor absoluto de $y$ viene dada por $$|y| = \begin{cases} y&\text{if } y\geq 0\\-y&\text{if } y<0\end{cases}$$ Ahora se trata de comprobar cuándo $x+3$ y $x-1$ son positivos, y cuando son negativos.

Veamos el caso en el que $x-1\geq 0$ primero. A continuación, $x\geq 1$ y se deduce trivialmente que $x+3\geq 0$ también. Así que por ahora podemos escribir \begin {align}f(x) = |x+3|-|x-1| &= \begin {casos} x+3-(x-1)& \text {si } x \geq 1 \\\text {Por determinar}& \text {de lo contrario} \end {casos} \\ &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\\text {Por determinar}& \text {de lo contrario} \end {casos}. \end {align}

A continuación, consideremos el caso en el que $x+3<0$ es decir $x<-3$ y se deduce trivialmente que $x-1<0$ también. Ahora podemos escribir

\begin {align}f(x) = |x+3|-|x-1| &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\ -(x+3)-(-(x-1))& \text {si } x<-3 \\\text {Por determinar}& \text {de lo contrario} \end {casos} \\ &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\ -x-3+x-1& \text {si } x<-3 \\\text {Por determinar}& \text {de lo contrario} \end {casos} \\ &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\ -4& \text {si } x<-3 \\\text {Por determinar}& \text {de lo contrario} \end {casos}. \end {align}

Por último, debemos considerar el caso de que $-3 \leq x<1$ . Entonces $x+3\geq 0$ y $x-1<0$ Así que finalmente \begin {align}f(x) = |x+3|-|x-1| &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\x +3-(-(x-1))& \text {si } -3 \leq x < 1 \\ -4& \text {si }x<-3 \end {casos} \\ &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\x +3+x-1& \text {si } -3 \leq x < 1 \\ -4& \text {si }x<-3 \end {casos} \\ &= \begin {casos} 4& \text {si } x \geq 1 \\2x +2& \text {si } -3 \leq x < 1 \\ -4& \text {si }x<-3 \end {casos}. \end {align} Y este es el resultado final.

Answer 3

CONSEJO: Divida la función en 3 intervalos, $(-\infty,-3],(-3,1],(1,+\infty)$

Answer 4

Saber que en cada segmento, el gráfico de $f$ es una línea. Sólo se necesita saber el $x$ valores en los que la gráfica tiene una cúspide. eso ocurre en los números críticos $3$ y $1$ ahora toma un punto a la izquierda de los números críticos más pequeños y otro a la derecha de los más grandes. evalúa la función en estos puntos y únelos mediante segmentos de recta.