Imagina un valor real semilog función de $\DeclareMathOperator{\sog}{sog}\sog$ con la propiedad de que
$$\sog(\sog(x)) = \log(x)$$ para todos los verdaderos $x>0$.
Mis preguntas:
- Hace una función de este tipo existen?
- ¿Cómo puedo calcular?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDIT: tengo mi copia de Hellmuth Kneser (1950) de la Göttingen repositorio digital, haga clic para descargar el artículo en sí (en lugar de toda la revista) ENLACE HELLMUTH KNESER 1950 Reele analytische o directamente directamente A PDF. Si alguien intenta y tiene problemas con los link(s), ahora he hecho un bonito pdf que es lo suficientemente pequeño como para el correo electrónico, me envió a mí y gmail dice 2MB, no hay problemas. Pongo la revista portada, la página de contenidos, en la tercera página después de que el artículo en sí.
Hay dos problemas, ambos de los cuales no son problemas para el logaritmo. Si usted está considerando una función de los reales que también es real valorados, mientras que no hay fixpoints, que podemos esperar de una producción real de la analítica de la mitad-vuelve a decir, en un conjunto abierto alrededor de la parte pertinente del eje real. El conjunto abierto puede variar en anchura. Para ser más específicos, el conjunto abierto no se puede esperar que incluyen complejos fixpoints de la función.
Por lo general, que fraccional itera no se extienden a todo el plano complejo, incluso cuando la función original es todo y un único valor.
Si usted tiene un punto fijo en la línea real, donde la derivada de la función es negativa, es fácil ver que la mitad de iterar no puede quedarse real valorados. Por ejemplo, la mitad de una iteración de $-x$ $ix,$ porque $i(ix) = -x.$
En la presencia de fixpoints con derivados de más de $1$ o estrictamente entre el $0$ $1,$ podemos llegar a resolver un Schöder ecuación. Con $x^2$ $1$ llegamos a $x^{\sqrt 2},$ porque $$ \left( x^{\sqrt 2} \right)^{\sqrt 2} = x^2 $$ for positive $x.$ As soon as we try to include $0,$ we are stuck with $|x|^{\sqrt 2},$ which is $C^1$ but not $C^2$ en el origen. Así, fixpoints son un problema.
Por último, el más difícil de bits es cuando el punto fijo ha derivado $1.$ me pasé un poco de tiempo encontrar un medio para recorrer $\sin x.$ trabaja, el resultado es entre la onda sinusoidal y un diente de sierra de la curva (de segmentos de línea) que es tangente a la curva sinusoidal en múltiplos de $\pi.$ E, $0 < x < \pi,$ es real analítica. Escribí a Jean Ecalle, resulta que la función que realmente es $C^\infty$ cuando se expanda para incluir a $x=0,$ por lo tanto $C^\infty$ en toda la recta real. Vamos a ver, amplitud un poco más grande que $\sin x$ sí, no tan grande como la de diente de sierra; $\pi/2 \approx 1.570796,$ y obtenemos $f_{1/2} (1.570796) \approx 1.140179.$
El (sustancial) de trabajo se resume en http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765
Como ya se ha comentado, Helmuth Kneser construido un verdadero analítica de la mitad-iterar $e^x.$ A aproximadamente el mismo tiempo que hacía $\sin x,$ también hice $e^x-1,$ que tiene un punto fijo con derivados $1$$x=0.$, una Vez más, el real analítica para$x > 0,$$x < 0,$, pero sólo $C^\infty$ en toda la recta real. Tener problemas para publicar la imagen, en parte porque es un jpeg en lugar de un pdf. De todos modos, el resultado es que el $\log x$ obras, sino $\log (1+x)$ es más difícil.
