Dejemos que $(\mathbb{R}, d)$ y $(\mathbb{R}, d')$ dos espacios métricos de manera que para todo $x,y\in \mathbb{R}$ $$d(x,y)=|x-y|$$ $$d'(x,y)=|e^x-e^y|$$ Para $\varepsilon>0$ las respectivas bolas abiertas son: $$B(x,\varepsilon)=\{y\in\mathbb{R}: |x-y|<\varepsilon\}$$ $$B'(x,r)=\{y\in\mathbb{R}: |e^x-e^y|<\varepsilon\}$$ .
Demuestre que para todo $r>0$ existe $\delta>0$ para que $B'(x,\delta)\subseteq B(x,r)$ .
Como se menciona en el comentario de Friedrich Philipp, se puede utilizar la continuidad de la función logaritmo $\log:\mathbb R_+\to\mathbb R$ .
En particular, dado que $\log$ es continua en el punto $e^x\in\mathbb R_+$ dado cualquier $r>0$ existe un $\delta>0$ tal que $|\log (e^x)-\log z|<r$ por cada $z\in\mathbb R_+$ tal que $|e^x-z|<\delta$ .
Desde $e:\mathbb R\to\mathbb R_+$ es en, podemos escribir cualquier $z\in\mathbb R_+$ como $z=e^y$ . Así tenemos,
$|\log(e^x)-\log(e^y)|=|x-y|<r$ siempre que $|e^x-e^y|<\delta\Longrightarrow B'(x,\delta)\subseteq B(x,r)$ como se desee.
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