Cada usuario de un sistema informático tiene una contraseña de seis caracteres, donde cada carácter es una letra mayúscula o un dígito. Cada contraseña debe contener al menos un dígito. ¿Cuántas contraseñas posibles hay?
¿Por qué me equivoco al razonar que la respuesta es $10*36^5$ ? Si cada contraseña debe contener un dígito, entonces sólo hay $10$ formas de elegir un carácter en la contraseña y $36^5$ formas de elegir los otros 5 personajes.
No estás teniendo en cuenta que el dígito puede aparecer en cualquiera de las seis posiciones. Hay $10\cdot36^5$ contraseñas que comienzan con un dígito. También hay $10\cdot36^5$ contraseñas que terminan con un dígito; algunas de ellas también comienzan con un dígito y ya han sido contadas, pero otras no, por lo que su cifra de $10\cdot36^5$ es necesariamente demasiado pequeño.
La forma más fácil de contar las contraseñas aceptables es observar que hay $36^6$ cadenas de seis caracteres compuestas por letras mayúsculas y dígitos, y $26^6$ de ellos se componen enteramente de letras, por lo que hay $36^6-26^6$ que incluyen al menos un dígito.
Es posible contarlos directamente, pero el recuento es más complicado. Para cada uno de los $6$ posiciones en la contraseña hay $10\cdot36^5$ contraseñas que tienen un dígito en esa posición, por lo que en una primera aproximación hay $6\cdot10\cdot36^5$ contraseñas aceptables. Sin embargo, como se indica en el primer párrafo, esto cuenta algunas contraseñas más de una vez. Para cada par de posiciones de la contraseña hay $10^2\cdot36^4$ contraseñas que tienen dígitos en esas dos posiciones, y todas estas contraseñas se han contado dos veces. Dado que hay $\binom62$ pares de posiciones, debemos restar $\binom62\cdot10^2\cdot36^4$ para eliminar la doble contabilidad. Desgraciadamente, esto compensa en exceso, y hay que hacer más correcciones. El resultado neto, dado por el principio de inclusión-exclusión es
$$\sum_{k=1}^6(-1)^{k+1}\binom6k10^k36^{6-k}\;.$$
De cualquier manera, el resultado es $1,867,866,560$ .
¿Por qué $36^6-26^6$ ¿representan unos que incluyen al menos un dígito? Lo siento, es que me resulta confuso.
¿Cuántas contraseñas hay, ignorando el requisito de "al menos un dígito"? ¿Cuántas contraseñas hay sin ningún dígito? Ahora resta.
Tu respuesta es incorrecta porque no sólo hay 10 formas de elegir el dígito, sino que hay 6 lugares donde este dígito puede ir. Si multiplicas tu respuesta por 6, ahora estarías contando doble. Ejemplo:
Respuestas: $36^6$ , $26^6$ , $36^6-26^6$ .
Obtengo 0.1867866560000000000E+10 = 1,867,866,560 de acuerdo con el usuario, Brian M. Scott. He utilizado el algoritmo publicado en ¿Deducir un algoritmo para calcular el número de contraseñas restringidas para el caso general? . Este algoritmo proporciona un método general para resolver problemas de este tipo.
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