Centralizador de la matriz semisimple

Question

Dejemos que $n>3$ sea un número entero. Tengo problemas para encontrar una matriz semisimple $A\in M_n(\mathbb R)$ (es decir, diagonalizable en $M_n(\mathbb C)$ ) tal que su centralizador $Cent(A)=\{X\in M_n(\mathbb R)\;:\;AX=XA\}$ es isomorfo a $\mathbb C$ .

O más en general. Si $\mathbb K$ es una extensión de campo de $\mathbb F$ de grado $n$ qué matrices semisimples en $M_n(\mathbb F)$ tienen centralizador isomorfo a $\mathbb K$ ?

Answer 1

No existe tal matriz.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para cualquier álgebra de Lie ${\mathfrak g}$ sobre un campo ${\mathbb K}$ , cualquier $x\in{\mathfrak g}$ y cualquier extensión de campo ${\mathbb F}/{\mathbb K}$ tenemos $${\mathfrak z}_{\mathfrak g}(x)\otimes_{\mathbb K}{\mathbb F}\xrightarrow{\cong} {\mathfrak z}_{{\mathfrak g}\otimes_{\mathbb K}{\mathbb F}}(x),$$ de modo que para estudiar las dimensiones del centralizador ${\mathfrak z}_{\mathfrak g}(x)$ de $x$ en ${\mathfrak g}$ podemos pasar a una extensión de campo.

En particular, para estudiar las dimensiones de los centralizadores de elementos semisimples $x\in{\mathfrak g}{\mathfrak l}_n({\mathbb R})$ podemos pasar a ${\mathbb C}$ y considerar las dimensiones de los centralizadores de las matrices diagonalizables $x\in {\mathfrak g}{\mathfrak l}_n({\mathbb C})$ en su lugar. Sustitución de $x$ por un conjugado no cambia la dimensión del centralizador, por lo que podemos suponer que $x$ es diagonal, digamos $x = \text{diag}(x_1,...,x_n)$ . Entonces puede comprobar que $$\dim_{\mathbb C}{\mathfrak z}_{{\mathfrak g}{\mathfrak l}_n({\mathbb C})}(x)\ =\ n + \#\{i\neq j\ |\ x_i = x_j\}\geq n.$$

En particular, para $n>2$ ninguna matriz semisimple sobre ${\mathbb R}$ puede tener centralizador ${\mathbb R}$ -isomorfo a ${\mathbb C}$ por razones de dimensión. Para $n=2$ , puede tomar $x := \tiny\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y obtener el $2$ -centralizador de dimensiones ${\mathbb R}\{1,x\}$ que como ${\mathbb R}$ -es isomorfa a ${\mathbb C}$ .