Espacios completos en álgebra frente a espacios completos en topología

Question

Supongamos que $B$ es un anillo topológico. Supongamos que $\mathcal{I}$ es un conjunto de ideales $I$ de $B$ que forman un sistema fundamental de vecindades abiertas de cero.

Citando la sección 1.5 de este libro:

Supongamos que la topología de $B$ está completo. Eso significa que el mapa $$B\rightarrow \lim_{\substack{\longleftarrow\\ I \in \mathcal{I}}} B/I$$ es suryente.

Ahora no entiendo muy bien por qué estamos diciendo que el topología de $B$ es completa, porque la definición de $B$ ser completo parece ser algebraico (aunque estoy de acuerdo en que usamos el Abrir ideales $I\in \mathcal{I}$ para ello).

Me pregunto si hay alguna forma de conciliar la noción de completitud del espacio métrico con esta noción algebraica.

Esto es lo que quiero decir con un ejemplo:

Supongamos que $\mathcal{I}$ es de hecho una filtración decreciente de ideales $$I_1\supset I_2\supset \ldots$$ Entonces se puede definir un pseudométrico $d$ en $B$ por definición $d(x,y):=1/2^{m(x,y)}$ donde $m(x,y)$ es el máximo $m\in \mathbb N \cup \{\infty\}$ con $x-y\in I_m$ . Entonces $B$ es un espacio pseudométrico y su topología métrica coincide con nuestra topología original en $B$ . Al igual que en los espacios métricos, en los espacios pseudométricos tenemos la habitual noción topológica de completitud. Se puede demostrar fácilmente que es equivalente en este caso a la algebraica citada anteriormente.

¿Qué pasa con el caso general? ¿O debería simplemente tomar lo anterior como una definición(n algebraica) de completitud y tener siempre cuidado de distinguir entre el caso algebraico y el topológico?

Answer 1

Es común hablar de "completitud en la topología", pero en realidad se refiere a la uniformidad canónica inducida por la topología, donde una base para la uniformidad son los conjuntos de la forma $U\times U$ , donde $U$ es una vecindad de $0$ .

Bajo esta uniformidad, una red $(x_\delta)_{\delta\in\Delta}$ (con $\Delta,\le$ un conjunto dirigido) es Cauchy si y sólo si, para cada vecindad $U$ de $0$ , hay $\bar{\delta}\in\Delta$ tal que, para cada $\delta_1,\delta_2\ge\bar{\delta}$ , $x_{\delta_1}-x_{\delta_2}\in U$ .

Se dice que el anillo topológico es completo si toda red de Cauchy (en el sentido anterior) converge.

Nótese que puede haber diferentes uniformidades que induzcan la misma topología, pero ésta está "canónicamente" asociada a la topología.

Si la topología tiene una base contable de vecindades de $0$ Por ejemplo, en su caso de filtración, las secuencias son suficientes para establecer la integridad. De hecho, en general, si $\mathcal{B}$ es una base de vecindades de $0$ ordenado por inclusión inversa, podemos demostrar que el anillo es completo si y sólo si cada Cauchy $\mathcal{B}$ -red converge.