¿Cómo justificar la elección de una solución concreta?

Question

Tengo ya resuelto la siguiente ecuación diferencial no homogénea de segundo orden:

$$(x+1)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=(x+1)^2$$

Estoy insatisfecho por la forma en que encontré la solución particular. Supuse que la solución particular sería de la forma $y(x)=a+bx+cx^2$ , ponlo en el LHS y luego compara los coeficientes.

• ¿Cómo puedo derivar la solución particular, es decir, encontrar que la solución particular es $1+bx+x^2$ sin asumir es de la forma $a+bx+cx^2$ y luego mostrar $a=1$ y $c=1$ ?

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Observación: El comentario de Amzoti "OP no quiere probar un enfoque diferente, por lo que eliminado" a su puesto eliminado es falso y engañoso. Él sugirió una sustitución. La sustitución dada ni siquiera encontró la solución complementaria, ni siquiera explicar la solución particular.

Answer 1

Hay dos métodos comunes para encontrar la solución particular de una EDO de segundo orden no homogénea; el método de los coeficientes indeterminados y la variación de los parámetros. Parece que has elegido el primero, ya que uno de los pasos requiere empezar con una combinación lineal del término o términos que componen la función de forzamiento (lado derecho). En su caso, $a + bx + cx^{2}$ . Este es el más fácil de los dos métodos para las ecuaciones en las que se cumplen ciertas condiciones necesarias. Sin embargo, el método de la variación de los parámetros es más general y no supone que la forma funcional sea una combinación lineal de los derechos. Hay mucha literatura escrita sobre este método, y no estoy seguro de que esto sea lo que te interesa, pero si es así, aquí hay un enlace para echar un vistazo:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx

Espero que esto ayude.

Salud,

Paul Safier

Answer 2

Voy a presentar una justificación de la elección de la solución particular y su relación con la función de entrada $g(x)$ - RHS; y luego voy a discutir el caso que usted proporcionó.

Obsérvese que el método general de coeficientes indeterminados se limita a las ED lineales no homogéneas con coeficientes constantes. Dado que la función de entrada $g(x)$ resulta de aplicar el operador diferencial polinómico $L$ a la solución particular $y_p$ es razonable que la función de entrada sea igual a una combinación lineal formada por $y_p$ y sus derivadas--por combinación lineal me refiero a multiplicar cada término por una constante y sumar los resultados. Esto es posible porque los coeficientes de la DE son constantes. El método es exclusivo para los casos en que $g(x)$ es un polinomio, una exponencial, un seno, un coseno o una combinación aritmética de ellos mediante adición, sustracción y/o multiplicación.

La ED que nos has proporcionado es con coeficientes no costantes, sería erróneo aplicar el método de los coeficientes indeterminados en este caso. Sin embargo, como contraejemplo vamos a intentar utilizar el método aquí. $$(x + 1)y'' + xy' - y = x^2 + 2x + 1.$$

Según el método que suponemos:

$$y_p = Ax^2 + Bx + C,$$ por lo que tenemos $y_p' = 2Ax + B$ y $y_p'' = 2A$ . Los sustituimos en el DE para obtener: $$(x + 1)\cdot 2A + x(2Ax + B) - Ax^2 - Bx - C = x^2 + 2x + 1,$$ $$Ax^2 + 2Ax + (2A - C)= x^2 + 2x + 1.$$ Como se puede ver, cuando comparamos los coeficientes de $x$ en ambos lados para averiguar los valores de $A, B$ y $C$ ; nos encontramos con que $B$ se deja caer en el LHS y nunca podemos encontrar su valor.

**Nota la diferencia entre mi sustitución y la tuya: He utilizado $A$ en lugar de $c$ y $C$ en lugar de $a$ Es una cuestión de costumbre, por supuesto.

No he podido entender del todo tu última frase. Si no estás satisfecho con el proceso de asumir los coeficientes y comparar el LHS con el RHS para encontrar sus valores, puedes utilizar el método de variación de parámetros. Sin embargo, la variación de parámetros requiere que conozcas la función complementaria $y_c$ primero.

Debido a que los coeficientes de la ecuación dada son no-costables, es necesario utilizar alguna sustitución o la Transformada de Laplace para resolver la DE homogénea asociada.

Espero que mi respuesta arroje algo de luz sobre su problema. Saludos cordiales, Khalid Adel.