Proyección de Bott como $K_1$ clase

Question

Considere la proyección de Bott (descrita en el ejercicio 5.I del libro de Wegge-Olsen $K$ -teoría y $C^*$ -algebras ) dado por $b(z)=\frac{1}{1+|z|^2}\begin{pmatrix} 1 & \bar{z} \\ z & |z|^2 \end{pmatrix}$ . Considerado como un elemento en $C_0(\mathbb{R}^2,M_2(\mathbb{C}))$ a través de $z=x+iy$ , $b$ representa una clase en $K_0(C_0(\mathbb{R}^2))$ . Bajo el isomorfismo de suspensión $K_1(A)\cong K_0(SA)$ para cualquier $C^*$ -Álgebra $A$ que nos dice en particular $K_0(C_0(\mathbb{R}^2))\cong K_1(C(S^1))$ ¿Cuál es la clase correspondiente a $b$ en $K_1(C(S^1))$ ? Creo que debería ser la clase de la función $z\mapsto\bar{z}$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

No sé si te será útil, pero lo intentaré:

No estoy seguro de cómo ves el isomorfismo entre $K_0(C_0(\Bbb{R}^2))$ y $K_1(C(S^1))$ por el isomorfismo de suspensión.
Sin embargo, consideremos la secuencia corta-exacta $0\to C_0(\Bbb{R}^2)\to C(\Bbb{D})\to C(S^1)\to 0$ donde los mapas son la inclusión $\phi$ y restricción $\psi$ y usted identifica $\Bbb{R}^2$ con $\Bbb{D}-S^1$ .
Induce una secuencia exacta de seis términos (no podría escribirla aquí, pero ya sabes a qué me refiero). Tenemos: $K_1(C(S^1))\cong K_0(C(S^1)) \cong K_0(C(\Bbb{D})\cong \Bbb{Z}$ ; $K_1(C(\Bbb{D}))=0$ y el generador de $K_0(C(S^1))$ es $[1]_0$ . Concluir que $K_0(\psi)$ es un isomorfismo (porque mapea generador a generador) y por tanto $\delta: K_1(C(S^1)) \to K_0(C_0(\Bbb{R}^2))$ el mapa de índices, es un isomorfismo.
Ahora, puede comprobar lo que $\delta$ hace al generador de $K_1(C(S^1))$ es decir $[f(z)=z]_1$ para determinar $\delta$ en general y encontrar el generador de $K_0(C_0(\Bbb{R}^2))$ . Después de algunos cálculos he llegado a la conclusión de que $\delta([z]_1)=\begin{bmatrix}|z|^2&z(1-|z|^2)^{1/2}\\ \bar{z}(1-|z|^2)^{1/2}&1-|z|^2\end{bmatrix}_0-\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}_0 \in K_0(C_0(\Bbb{R}^2))$
Mi escritura es un poco confusa, me refiero a las clases de equivalencia de las matrices.
$[\bar{z}]_1=-[z]_1$ en $K_1(C(S^1))$ para que pueda ver fácilmente qué elemento de $K_0(C_0(\Bbb{R}^2))$ asignada a $[\bar{z}]_1$ .
A ver si sirve de algo, aún no estoy familiarizado con la proyección de Bott.