¿Cómo dividir el siguiente polinomio y factorizarlo?

Question

La pregunta es $$ (2x^3+3x^2-39x-20) / (x-4) $$

Dividí lo siguiente y obtuve esto como respuesta $$ 2x^2+9x+3-8/(x-4))$$ Pensé que esta era la respuesta, pero cuando miré la hoja de respuestas la respuesta era esta $$(x-4)(x+5)(2x+1)$$ Creo que la respuesta debería ser factorizada pero no sé cómo factorizar esto $$ (2x^3+3x^2-39x-20) / (x-4) $$ y también tengo una pregunta general sobre la factorización de este tipo de problemas $$ax^3+bx^2+cx+d$$ qué método elegiría, porque debería obtener 3 respuestas y no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Dividiendo $2x^3 +3x^2 -39x -20 $ por $(x-4)$ debe darle $2x^2 +11x+5$

Entonces factoriza $2x^2 +11x+5$ para obtener los factores restantes:

$$2x^2 +11x+5 = (2x + 1)(x+5)$$

Para más información sobre la división de polinomios, véase lo siguiente video de la academia khan

Answer 2

$4$ es una raíz de $3x^3+3x^2-39x-20$ por lo que es divisible por $x-4$ . Para obtener el cociente, se puede utilizar El esquema de Horner : $$\begin{array}{rrcrcrr} &2&&3&&-39&&-20\\ \hline &&&8&&44&&20\\ &&\!\!\nearrow\!\!&&\!\!\nearrow\!\!\!\!&&\!\!\nearrow\!\!\!\!\\ {}\times 4&\color{red}{2}&&\color{red}{11}&&\color{red}{5}&&0 \end{array}$$ Por lo tanto, $\;2x^3+3x^2-39x-20=(2x^2+11x+5)(x-4)$ .

El polinomio cuadrático tiene discriminante igual a $81$ por lo que sus raíces son $-5$ y $-\frac12$ por lo que se factoriza como $(2x+1)(x+5)$ y $$\frac{2x^3+3x^2-39x-20}{x-4}=\frac{(2x+1)(x+5)(x-4}{x-4}=(2x+1)(x+5)$$