En este momento estoy trabajando en una prueba en el papel Ocho caras de la 3esfera de la homología de Poincare (página 124-28,13-16) y el aspecto principal de la prueba es cómo la multiplicación de $\mathbb{S}^3$ geométricamente funciona. La mayoría de las explicaciones las puedo entender, pero realmente no sé cómo hay que entender el fragmento marcado en rojo en la imagen de abajo (especialmente lo que significa perpendicular en este contexto.
No estoy seguro de lo que quieres saber sobre la esfera perpendicular, pero como la descripción "extrínseca" utilizando la perpendicularidad no te satisface, aquí tienes una descripción intrínseca.
En primer lugar, el punto dado $p$ tiene un único antípoda, denotado $-p$ caracterizado por ser el único punto en $S^3$ de distancia máxima de $p$ siendo ese valor máximo $\pi$ .
En segundo lugar, la esfera perpendicular de $p$ es el conjunto de puntos situados exactamente a mitad de camino entre $p$ y $-p$ siendo esa distancia intermedia $\pi/2$ .
Existe una analogía una dimensión más abajo, en la esfera bidimensional. De nuevo, cada punto tiene un único antípoda, y tiene un círculo perpendicular que es el conjunto de puntos a medio camino entre el punto dado y su antípoda. En esta analogía, piensa en $p$ como el polo norte, $-p$ como el polo sur, y el círculo perpendicular como el ecuador.
Así, volviendo a la esfera tridimensional, se puede pensar en $p$ como un poste, $-p$ como su polo opuesto, y la esfera perpendicular como el ecuador con respecto a esos dos polos.
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