Deje $B$ ser el espacio de todos los delimitadas las funciones de $f:[0,1]\to\mathbb R$ equipado con el supremum de la norma*. Contiene $C$, el espacio de funciones continuas en $[0,1]$, como un subespacio. Una $L$-Lipschitz la retracción $R:B\to C$ es, por definición, un mapa, tales que $$R(f)=f \qquad \forall f\in C$$ $$\|R(f)-R(g)\|\le L\|f-g\| \qquad \forall f,g\in B$$
Pregunta: ¿existe un $2$-Lipschitz retracción de $B$ a $C$?
Espero que la respuesta sea negativa, pero hasta ahora no ha podido encontrar una adecuado de la obstrucción.
La motivación
Se sabe que hay un $20$-Lipschitz de retracción; un mapa (bastante complicado) es construido en el Teorema 1.6 Geométricas El Análisis Funcional no lineal por Benyamini y Lindenstrauss. El constante $20$ probablemente podría reducirse mediante la modificación de sus de la construcción, pero no estoy interesado en eso ahora.
No es $L$-Lipschitz de retracción de $L<2$. (Prueba a continuación).
La constante $2$ es conocido por ser el más pequeño posible para Lipschitz la retracción de $\ell_\infty$ a $c_0$ (Ejemplo 1.5 en el mismo libro).
Prueba del punto 2 anterior. Para $n\in \mathbb N$, vamos a $f_n\in C$ ser un función tal que $f_n(x)=-1$ $x\le \frac12-\frac1n$, $f_n(x)=1$ para $x\ge \frac12+\frac1n$, e $f_n$ es lineal en el medio. Vamos $f(x)=\frac12 \operatorname{sign}(x-1/2)$. Tenga en cuenta que $\|f-f_n\|\le 1/2$ for all $n$. Here is an illustration: $f$ in red, $f_n$ en azul.
La función de $R(f)$ debe satisfacer $\|R(f)-f_n\|\le L/2$ todos los $n$. Por lo tanto, $R(f)(x)\ge 1-L/2$ $x>1/2$ $R(f)(x)\le -1+L/2$ $x<1/2$. Desde $R(f)$ es continua, se sigue que $L\ge 2$.
Comentario sobre el punto 3: $2$- Lipschitz retracción de $\ell_\infty$ a $c_0$ es obtenido mediante la asignación de cada una de las $(x_n)\in \ell_\infty$ $(x_n-\min(|x_n|,s)\operatorname{sign}x_n)$donde $s=\limsup|x_n|$. Desde $s$ $1$- Lipschitz de la función en $\ell_\infty$, el mapa resultante es $2$-Lipschitz.
(*) Que es, $\|f\|=\sup_{[0,1]}|f|$. Tenga en cuenta que $B$ es diferente de $L^\infty[0,1]$ debido a que las funciones que son la misma.e. no identificado, ni existe ningún requisito de la mensurabilidad.
