Resolución de la ecuación del calor con el término de transporte

Question

Me gustaría resolver esta ecuación:

$$ u_t = u_{xx} + u_x $$ para $t>0$ con la condición inicial: $$ u(0,x) = \cos (2 \pi x) $$ Y $1$ -periódica, es decir, tenemos que $u(t,x) = u(t,x+1).$ Iba a resolverlo mediante la separación de variables, pero estaba pensando en otra forma, concretamente en resolverlo mediante una serie de fourier. Es decir, primero asumo que $u$ tiene una expansión en serie de Fourier: $$ u(t,x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k(t)e^{2\pi ikx} $$ Ahora, me gustaría diferenciar los coeficientes de la serie y hacerlos iguales entre sí. Algo parecido a: $$ a_k'(t) = 2\pi ike^{2\pi i k x} ak(t) + (2 \pi ik )^2 ak(t) e^{2 \pi i k x} $$ Y luego resolver para $ak(t)$ . Dos preguntas: 1) ¿es válido este método? Es decir, ¿es cierto que las series son iguales si y sólo si los coeficientes lo son? 2) Si puedo utilizar este método, ¿cómo resuelvo la EDO de $a_k(t)$ ? Disculpa si esto es particularmente obvio, nunca he tomado una clase de ODEs

Answer 1

1. Sí, este método es válido (bajo la misma hipótesis que para la ecuación del calor habitual).
2. Su ODE para $a_k$ debería ser: $$a_k'(t)=2i \pi k a_k(t)+(2i \pi k)^2 a_k(t)=(-4 \pi k^2+2i \pi k)a_k(t)$$ Así que..: $$a_k(t)=e^{(-4 \pi k^2+2i \pi k) t} a_k(0)$$