Función de Green para $\Omega=\{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_2,x_3>0 \}$

Question

Calcular la función de Green para el Laplaciano, para la región $$\Omega=\{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_2,x_3>0 \}.$$

Mi enfoque es utilizar un argumento de reflexión similar al utilizado para calcular la función de Green para el semiplano superior, donde la última coordenada se toma como negativa. El problema se reduce a encontrar la función correctora $\phi^{x}(x,y),$ tal que \begin {casos} & \Delta_ {y} \phi ^{x}(x,y)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text {para},\Ny,\Ny \in\Omega \\ & \,\,\,\,\,\,\, \phi ^{x}(x,y)= \Phi (y-x)\N-, \N-, \N-, \text {para},\Ny,\Ny \in\partial\Omega. \end {casos} Dónde $\Phi(y-x)$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace, dada en este caso por $\Phi(y-x)=\frac{1}{3\alpha(3)}\frac{1}{|y-x|}$ y $\alpha(3)$ denota el volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^3.$

Si definimos nuestra función correctora como $\phi^{x}(x,y)=\Phi(y-\tilde{x})+\Phi(y-x^{\star})-\Phi(y-x^{'})$ , donde $\tilde{x}=(x_1,-x_2,x_3), x^{\star}=(x_1,x_2,-x_3),x^{'}=(x_1,-x_2,-x_3).$ Entonces creo que esta función satisface las condiciones anteriores.

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¿Algo de lo anterior es correcto? ¿Podría alguien indicar cuál es la estrategia para encontrar las funciones de Green para dominios como el anterior?

Cualquier comentario es muy apreciado y gracias por su tiempo.

Answer 1

La cuestión principal aquí es encontrar la función correctora $e(x,y).$ Intentemos lo siguiente, poner $e(x,y)=\Phi(y-\tilde{x})-\Phi(y-x^{\star})+\Phi(y-x^{'})$ , donde $\tilde{x}=(x_1,-x_2,x_3), x^{\star}=(x_1,-x_2,-x_3),x^{'}=(x_1,x_2,-x_3).$ Tenemos que comprobar que $$\begin{cases} & \Delta_{y}e(x,y)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{for}\,\,x,y\in\Omega \\ & \,\,\,\,\,\,\,\, e(x,y)=\Phi(y-x)\,\,\,\,\text{for}\,\,y\in\partial\Omega, x\in\Omega. \\ \end{cases}$$ Obsérvese que nuestra función correctora viene dada por $$e(x,y)=\frac{1}{3\alpha(3)}\left[ \frac{1}{|(y_1,y_2,y_3)-(x_1,-x_2,x_3)|} -\frac{1}{|(y_1,y_2,y_3)-(x_1,-x_2,-x_3)|} +\frac{1}{|(y_1,y_2,y_3)-(x_1,x_2,-x_3)|} \right].$$ Para $x \in \Omega,y \in \partial \Omega$ tenemos tres casos, como se calcula a continuación $$e(x,y)=\frac{1}{3\alpha(3)}\left[ \frac{1}{|(y_1,y_2,0)-(x_1,-x_2,x_3)|} -\frac{1}{|(y_1,y_2,0)-(x_1,-x_2,-x_3)|} +\frac{1}{|(y_1,y_2,0)-(x_1,x_2,-x_3)|} \right]$$ $$e(x,y)=\frac{1}{3\alpha(3)}\left[ \frac{1}{|(y_1,0,0)-(x_1,-x_2,x_3)|} -\frac{1}{|(y_1,0,0)-(x_1,-x_2,-x_3)|} +\frac{1}{|(y_1,0,0)-(x_1,x_2,-x_3)|} \right]$$ $$e(x,y)=\frac{1}{3\alpha(3)}\left[ \frac{1}{|(y_1,0,y_3)-(x_1,-x_2,x_3)|} -\frac{1}{|(y_1,0,y_3)-(x_1,-x_2,-x_3)|} +\frac{1}{|(y_1,0,y_3)-(x_1,x_2,-x_3)|} \right].$$ En cada caso, obtenemos $e(x,y)=\Phi(x,y),$ para que la igualdad se mantenga para todos los $x\in\Omega,y\in\partial\Omega.$

Para $x,y\in\Omega,$ es trivial que $\Delta_{y}e(x,y)=0,$ ya que evitamos las singularidades por nuestro argumento de reflexión y $e(x,y)$ es una combinación lineal de modificaciones de la solución fundamental. De ello se desprende que $G(x,y)=\Phi(x,y)-e(x,y).$