$ 4x -5y + 24z = 4A $ , $ 2x - 2y + 2z = 10$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de $A$ ?

Question

Si $x,y,z$ enteros que satisfacen $$ 4x -5y + 24z = 4A $$ $$ 2x - 2y + 2z = 10$$ con $y < 2x$ y $y-20z< 0$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $A$ ?

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Intento:

Podemos reescribir las ecuaciones como

$$ -y + 20z = 4A - 20 $$ $$ 2x - 2y + 2z = 10$$

o $$ -y + 20z = 4A - 20$$ $$ x - 19z = 25 - 4A $$

por lo que obtenemos $y - 20z = 20 - 4A < 0 $ Así que $A > 5$ . Además, podemos obtener

$$ -y + 20z = 4A - 20 $$ $$ 2x - (19/10)y = 12 - (2/5)A$$ por lo que tenemos soluciones generales $$ z = A/5 -1 + y/20$$ $$ x = 6 - A/5 + (19y/20) $$ cómo seguir encontrando el máximo valor posible de $A$ ?

Answer 1

Resolver el sistema $$ \begin{cases} 4x-5y+24z=a \qquad\qquad\;\;\; \\[4pt] 2x-2y+2z=10\\ \end{cases} $$ para $x,y$ produce $$ \begin{cases} x=19z+25-4a \qquad\qquad\;\;\; \\[4pt] y=20z+20-4a\\ \end{cases} \\[18pt] $$ \begin {align*} \text {Entonces};\ ~ &y - 20z < 0 \\ [4pt] \iff\ &(20z+20-4a)-(20z) < 0 \\ [4pt] \iff\ ;&20-4a < 0 \\ [4pt] \iff\ ;&a > 5 \\ [4pt] \iff\ ;&a \ge 6 \\ [10pt] \text {y};\ ~ &y < 2x \\ [4pt] \iff\ ;&20z+20-4a < 2(19z+25-4a) \\ [4pt] \iff\ ;&10z+10-2a < 19z+25-4a \\ [4pt] \iff\ ;&9z+15 > 2a \\ [4pt] \iff\ ;&z > \frac {2a-15}{9} \\ [4pt] \end {align*} Así, para cualquier número entero $a \ge 6$ y cualquier número entero $z > {\large{\frac{2a-15}{9}}}$ podemos dejar que $$ \begin{cases} x=19z+25-4a \qquad\qquad\;\;\; \\[4pt] y=20z+20-4a\\ \end{cases} $$ y se cumplen todas las condiciones especificadas.

Por lo tanto, aunque hay un valor mínimo para $a$ , a saber $a=6$ no existe un valor máximo para $a$ .

Answer 2

Eliminar $y$ con $y=x+z-5$ . Las restricciones se convierten en

$$-x+z<5,\\x-19z<5$$ y la función objetivo es

$$4A=4x-5y+25z=29x+20y-125.$$

Como las restricciones incluyen una parte no limitada del primer cuadrante, $A$ ¡es ilimitado por encima de !

(Por ejemplo, $x=n,y=2n-5,z=n$ satisfacen las restricciones y dan lugar a $4A=49n-125$ .)