aplicaciones de la fórmula de reflexión de euler.

Question

En este puesto una de las respuestas (de hecho, la respuesta con más votos) utiliza la fórmula de reflexión de euler $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi\,z)}$ para la función gamma $\Gamma(z)$ para evaluar la expresión $\Gamma(\frac{1}{2})$ Pero en los comentarios se dice que la fórmula es mucho más avanzada que la evaluación $\Gamma(\frac{1}{2})$ La pregunta que me vino a la mente cuando leí ese comentario fue "si este comentario es cierto en general".

Por curiosidad me gustaría saber si el comentario es cierto en general o sólo es una cuestión de opinión.Se agradecerán posibles ejemplos en los que se aplique la fórmula de reflexión excepto para evaluar la expresión mencionada.

Answer 1

La aplicación más útil de esta fórmula es, en mi opinión, el hecho de que da una continuación analítica de la $\Gamma$ -en la mitad izquierda del plano complejo $\{z\in\mathbb{C},\Re(z)<0\}$ excluyendo los polos en $z_n=-n$ por supuesto. Este hecho tiene amplias aplicaciones, como la continuación de $\zeta(s)$ como mencionó @Gerry Myerson en los comentarios.

Además, simplifica muy bien algunas integrales relacionadas con la función Beta: $$ \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^z=B(z,1-z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}{\Gamma(1)}=\frac{\pi}{\sin(\pi z )} $$

Lo cual me parece especialmente bonito

Para responder a la primera parte de tu pregunta: Creo que depende, si ya conoces la fórmula de la reflexión entonces esta es la forma fácil de demostrar $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ . Si no es así, hay formas más sencillas, que puedes leer en el tema enlazado.