¿por qué el área de un rombo con la misma longitud que un cuadrado tiene un área diferente a la del mismo cuadrado?

Question

se puede crear un rombo arrastrando los cuatro lados del cuadrado hasta un determinado ángulo. entonces, ¿en qué se diferencia el área del nuevo rombo formado del cuadrado? se puede demostrar matemáticamente, pero ¿cómo se diferencian?

Answer 1

Cada fotograma de la siguiente animación presenta un rombo de lado $1$ . El área alcanza un máximo de $1$ cuando el rombo es un cuadrado. Esto muestra cómo el "estiramiento" del rombo disminuye su área.

Answer 2

Piensa en lo que ocurre cuando "inclinas" un cuadrado hasta convertirlo en un rombo, manteniendo las líneas horizontales del cuadrado en posición horizontal, pero girando un poco las líneas verticales en el sentido de las agujas del reloj. Compara la nueva área con la original. Al hacer esto se ha añadido un área triangular a la derecha del cuadrado, se ha eliminado un área triangular idéntica de la izquierda, pero también se ha eliminado un área rectangular de la parte superior del cuadrado porque la altura ha disminuido. Las áreas triangulares se cancelan, pero el área rectangular eliminada debido a la disminución de la altura significa que el rombo tiene un área menor.

Answer 3

Una forma de pensar en ello es la siguiente: el área de un rombo con longitud de lado $s$ es la suma de las áreas de $4$ triángulos rectos congruentes con la hipotenusa $s.$ (Los catetos de estos triángulos son los segmentos que van del centro del rombo a sus vértices).

Si consideramos un triángulo rectángulo cualquiera de hipotenusa $s,$ y dejemos que la hipotenusa sea el diámetro de un círculo, entonces encontramos que exactamente $3$ puntos del triángulo se encuentran en el círculo: los vértices.

Así, arrastrar las esquinas del rombo tiene el mismo efecto que arrastrar la esquina del ángulo recto de un triángulo rectángulo alrededor del borde de su círculo circunscrito. A medida que el ángulo recto se acerca al diámetro de la hipotenusa, el área del triángulo se reduce (la base es la misma, pero la altura disminuye). El área del triángulo es máxima cuando el ángulo recto está a su mayor distancia del diámetro de la hipotenusa (cuando la altura es máxima). Esto ocurre exactamente cuando el triángulo rectángulo es isósceles. Las secciones del triángulo rectángulo de un rombo son isósceles exactamente cuando es un cuadrado.

Answer 4

Si consideramos un rombo como un cuadrado, la altura aumenta. En consecuencia, el área aumenta. Así que el área del rombo es menor que la del cuadrado usando los mismos lados.